§ 36. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы

Определения и обозначения

Равновесие твёрдого тела — состояние, при котором тело покоится или движется поступательно и равномерно, не изменяя своего вращения. Для материальной точки достаточно равенства нулю суммы сил, а для тела нужно ещё проверить отсутствие вращения. Поэтому равновесие тела включает поступательное и вращательное равновесие.

Момент силы относительно точки — физическая величина, показывающая способность силы поворачивать тело вокруг этой точки. Если сила перпендикулярна радиусу или рычагу, момент вычисляют по формуле M = Fd. Чем больше сила или расстояние до её линии действия, тем сильнее её вращательное действие.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от точки, относительно которой рассматривают вращение, до линии действия силы. Это расстояние измеряют по перпендикуляру, а не обязательно до места приложения силы. Плечо нужно знать, чтобы правильно найти момент и сравнить действие разных сил.

Линия действия силы — прямая, вдоль которой направлен вектор силы. Её положение определяет плечо, поэтому две одинаковые силы могут иметь разные моменты. При построении схемы нужно продолжить направление силы прямой и измерять расстояние именно до неё.

Как это устроено

Равновесие тела требует учитывать не только перемещение, но и возможный поворот. Сила может проходить так, что её действие не сдвигает тело в целом, но заставляет его вращаться вокруг опоры. Поэтому описание тела только как материальной точки теряет информацию о вращательном эффекте.

Первое условие равновесия записывают так: ΣF⃗ = 0. Векторная сумма равна нулю, когда силы полностью компенсируют друг друга по всем направлениям, поэтому ускорение центра масс отсутствует. Это условие исключает ускоренное поступательное движение, но само по себе ещё не запрещает вращение.

Вращательное действие силы зависит от двух причин: её величины и расстояния до линии действия. Если увеличить силу в два раза, момент увеличится в два раза; такой же результат даст удвоение плеча. Поэтому одинаковые силы, приложенные на разных расстояниях от оси, действуют на тело неодинаково.

Для вращательного равновесия сумма моментов относительно выбранной точки должна быть равна нулю: ΣM = 0. Моменты, поворачивающие тело по часовой стрелке, и моменты противоположного направления записывают с разными знаками. Полное равновесие получается только при одновременном выполнении обоих условий; точку отсчёта выбирают так, чтобы исключить из уравнения моменты неудобных сил.

Условия равновесия твёрдого тела и момент силы

Сначала определите, какие силы действуют на тело, и найдите их линии действия. Затем проверьте сумму сил и отдельно составьте уравнение моментов, выбрав удобную точку отсчёта. В таблице формула M = Fd приведена для случая перпендикулярного действия силы; в общем случае нужно использовать именно перпендикулярное плечо.

Разбор задач

Задача 1

К телу приложены две силы по 8 Н, направленные в противоположные стороны. Их линии действия совпадают. Нужно выяснить, может ли тело оставаться в равновесии.

1. Силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их векторная сумма равна нулю: 8 Н − 8 Н = 0.
2. Линии действия совпадают, значит, относительно любой точки на этой линии плечи равны нулю. Относительно другой точки моменты сил равны по модулю и противоположны по знаку.
3. Сумма моментов также равна нулю, поэтому оба условия равновесия выполнены.

Ответ: да, тело может оставаться в равновесии.

Задача 2

На рычаге силы 12 Н и 18 Н действуют по разные стороны от опоры перпендикулярно рычагу. Первая сила приложена на расстоянии 0,45 м. Найдём расстояние до второй силы.

1. Моменты направлены противоположно, поэтому в равновесии их модули равны: 12 · 0,45 = 18d.
2. Момент первой силы равен 5,4 Н·м. Отсюда d = 5,4 / 18 = 0,30 м.

Ответ: расстояние до второй силы равно 0,30 м.

Задача 3

Однородная горизонтальная балка длиной 4 м и массой 20 кг закреплена шарниром у стены. На свободном конце висит груз массой 30 кг. Определим вертикальную силу опоры на свободном конце, считая g = 9,8 м/с².

1. Вес балки 196 Н приложен к её середине, на расстоянии 2 м от шарнира. Вес груза равен 294 Н и действует на расстоянии 4 м.
2. Возьмём моменты относительно шарнира: R · 4 − 196 · 2 − 294 · 4 = 0.
3. Тогда R = (392 + 1176) / 4 = 392 Н. Проверка сил даёт вертикальную реакцию шарнира 98 Н вверх, так что сумма вертикальных сил тоже равна нулю.

Ответ: вертикальная сила опоры на свободном конце равна 392 Н.

Типичные ошибки

Ошибка — считать нулевую сумму сил достаточной. Так рассуждают, потому что для материальной точки этого условия хватает, но тело может вращаться. Проверьте себя: после ΣF⃗ = 0 обязательно составьте сумму моментов.

Плечо иногда принимают за расстояние до точки приложения силы. Это неверно, если сила направлена не перпендикулярно отрезку к точке приложения. Проведите линию действия и опустите на неё перпендикуляр из точки отсчёта.

Нельзя без проверки подставлять в M = Fd расстояние вдоль рычага. Такая замена верна только при перпендикулярной силе, иначе нужно найти настоящее перпендикулярное плечо. Полезно проверить угол между силой и рычагом на схеме.

Моменты нельзя складывать как обычные положительные числа. Сначала выберите положительное направление вращения, затем поставьте противоположным моментам разные знаки. Если тело в равновесии, итоговая алгебраическая сумма должна оказаться нулевой.

Связь с другими темами

Для изучения равновесия тела нужны второй закон Ньютона, правила сложения векторов и условия равновесия материальной точки. Векторная сумма сил показывает, будет ли ускоряться тело поступательно, а моменты добавляют проверку вращения.

Эти понятия применяются при изучении рычагов, простых механизмов и вращательного движения. С их помощью объясняют, почему длинная ручка облегчает действие и как распределяются силы в балках и опорах.

Что запомнить

• Для полного равновесия тела одновременно должны выполняться условия равновесия поступательного и вращательного движения.
• Векторная сумма всех сил, действующих на тело в равновесии, равна нулю.
• Сумма моментов всех сил относительно выбранной точки в равновесии равна нулю.
• Момент силы зависит от величины силы и её плеча.
• Плечо — перпендикулярное расстояние от точки отсчёта до линии действия силы.
• Моменты, вращающие тело в противоположных направлениях, учитывают со знаками разного типа.