"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Момент импульса описывает вращательное движение так же, как импульс — поступательное. Он показывает, насколько сильно тело «запасло» вращательное движение относительно выбранной точки или оси. Величина зависит от массы, скорости и расстояния до оси. Если внешний момент сил равен нулю, полный момент импульса системы сохраняется, поэтому при изменении момента инерции может изменяться угловая скорость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Момент импульса материальной точки относительно точки O — векторное произведение радиус-вектора на импульс: L = r × p. Его направление перпендикулярно плоскости векторов r и p и определяется правилом правой руки, а единица измерения — кг·м²/с. Эта величина нужна, чтобы описывать вращательное движение точки относительно выбранного центра.
Момент импульса твёрдого тела при вращении вокруг неподвижной оси равен L = Iω, где I — момент инерции тела, а ω — угловая скорость. Момент инерции показывает, насколько масса удалена от оси вращения. Формула позволяет находить вращательное состояние всего тела, не рассматривая отдельно каждую его частицу.
Момент силы относительно точки или оси характеризует вращательное действие силы: M = r × F, а по модулю M = Fl. Здесь F — сила, l — её плечо, то есть кратчайшее расстояние от точки или оси до линии действия силы. Чем больше сила или плечо, тем сильнее сила стремится повернуть тело.
Закон сохранения момента импульса утверждает: если на систему не действует суммарный внешний момент сил, её полный момент импульса остаётся постоянным. Внутренние взаимодействия могут менять моменты импульса отдельных частей, но их векторная сумма не изменяется. Закон особенно полезен при анализе замкнутых вращающихся систем.
Момент импульса зависит от точки отсчёта, потому что радиус-вектор r проводится именно от неё. При переносе точки меняются и длина r, и угол между r и p, а значит, меняется векторное произведение. Для прямолинейного движения модуль удобно считать как L = pl, где l — расстояние от выбранной точки до линии движения; чем дальше линия, тем больше вращательный эффект.
Направление L определяется не просто направлением скорости, а сразу двумя векторами — r и p. Векторное произведение перпендикулярно плоскости, которую они образуют: большой палец правой руки показывает направление момента импульса. Если движение происходит против часовой стрелки при взгляде с одного конца оси, L направлен к наблюдателю, а при обратном вращении — от него.
Момент силы изменяет момент импульса, потому что сила меняет импульс тела, причём особенно заметно это происходит при наличии плеча. За промежуток времени Δt изменение описывается соотношением ΔL = MвнешнΔt. При постоянном моменте силы можно записать Mвнешн = ΔL/Δt: чем больше момент или длительнее его действие, тем сильнее изменится вращательное состояние.
Для твёрдого тела вокруг неподвижной оси все частицы имеют одну и ту же угловую скорость ω, но разные линейные скорости. Частица, расположенная дальше от оси, движется быстрее и вносит больший вклад в общий момент импульса. Суммирование вкладов всех частиц даёт L = Iω, где I учитывает распределение массы относительно оси.
Если суммарный внешний момент сил равен нулю, из уравнения изменения момента импульса следует ΔL = 0, то есть Lобщ = const. При этом моменты отдельных частей системы могут изменяться из-за внутренних сил: одна часть получает момент импульса, другая теряет его. Так объясняются ускорение вращения фигуриста при прижатии рук и движение тел в центральном поле, где сила направлена к центру и её момент относительно этого центра равен нулю.
| Характеристика | Момент импульса | Момент силы |
|---|---|---|
| Физический смысл | Мера вращательного движения тела относительно точки или оси | Мера вращательного действия силы |
| Формула для материальной точки | L = r × p; L = pl по модулю | M = r × F; M = Fl по модулю |
| Формула для вращения вокруг неподвижной оси | L = Iω | M = Iε при постоянной оси и угловом ускорении ε |
| Единица измерения | кг·м²/с | Н·м |
| Роль во вращательном движении | Характеризует состояние вращения и может сохраняться | Изменяет момент импульса |
В таблице сначала находят физический смысл величины, затем выбирают формулу под конкретную ситуацию: для точки, тела или оси. Не путайте единицы: Н·м — единица момента силы, а кг·м²/с — единица момента импульса. Связь между ними задаёт изменение момента импульса за время действия внешнего момента.
Материальная точка массой 0,5 кг движется со скоростью 4 м/с по прямой, находящейся на расстоянии 0,3 м от точки O. Найдём модуль момента импульса относительно O.
Ответ: модуль момента импульса равен 0,6 кг·м²/с.
На диск с моментом инерции 2 кг·м² в течение 3 с действует постоянный момент силы 4 Н·м. Начальная угловая скорость равна 1 рад/с. Найдём конечную скорость вращения.
Ответ: конечная угловая скорость равна 7 рад/с.
Человек на вращающейся платформе прижимает к себе гантели. Момент инерции уменьшается с 5 до 2 кг·м², начальная угловая скорость равна 1,2 рад/с. Внешним моментом сил можно пренебречь.
Ответ: угловая скорость увеличится до 3 рад/с, потому что момент инерции уменьшился.
Момент импульса считают скаляром во всех случаях. Так делают, потому что в задачах часто требуется только модуль, но для материальной точки L — вектор. Проверьте, указано ли направление и относительно какой точки рассматривается движение.
Вместо плеча берут длину радиус-вектора. Путают эти величины, поскольку обе измеряются в метрах, хотя плечо — это именно перпендикуляр от точки до линии движения. Проверьте рисунок мысленно: нужный отрезок должен пересекать линию движения под прямым углом.
Закон сохранения применяют при ненулевом внешнем моменте сил. Ошибка возникает, когда учитывают только силы, но забывают об их плечах. Перед применением закона проверьте, равен ли суммарный внешний момент относительно выбранной точки или оси нулю.
Считают, что сохранение момента импульса означает неизменную угловую скорость. На самом деле сохраняется произведение Iω, поэтому изменение момента инерции меняет скорость в обратную сторону. Сверьте начальное и конечное произведения Iω.
Для изучения момента импульса нужны импульс тела, векторное произведение, плечо силы и момент силы. Тема опирается на законы Ньютона: именно внешние силы через свои моменты изменяют вращательное движение.
Закон сохранения момента импульса дополняет закон сохранения энергии и помогает изучать вращение твёрдых тел. Он применяется при объяснении движения планет в центральном поле, вращения звёзд и других астрофизических явлений.
Относительно какой точки рассчитывают момент импульса?
Момент импульса рассчитывают относительно выбранной точки отсчёта или оси. Результат зависит от этого выбора, поэтому точку всегда нужно указывать.
Как определить направление момента импульса?
Направление задаётся векторным произведением L = r × p. Его находят по правилу правой руки: пальцы направляют от r к p по кратчайшему повороту, а большой палец показывает направление L.
Когда можно применять закон сохранения момента импульса?
Закон применим, если суммарный внешний момент сил относительно выбранной точки или оси равен нулю. Внутренние силы могут перераспределять момент импульса между частями системы, но не меняют его полный момент.
Почему фигурист вращается быстрее, когда прижимает руки к телу?
Прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции. При отсутствии заметного внешнего момента произведение Iω сохраняется, поэтому угловая скорость возрастает.
Может ли момент импульса сохраняться, если угловая скорость меняется?
Да. При сохранении момента импульса выполняется I₁ω₁ = I₂ω₂. Если момент инерции меняется, угловая скорость может измениться в обратную сторону.
§ 41. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
