2. Действующие значения напряжения и силы тока

Определения и обозначения

Переменный ток — электрический ток, сила и направление которого периодически изменяются. В этой теме рассматривается синусоидальный ток: его мгновенное значение меняется по синусоидальному закону. Такое уточнение важно, потому что связь между амплитудой и действующим значением зависит от формы сигнала.

Мгновенное значение силы тока — значение силы тока в определённый момент времени; его обычно обозначают i. Оно показывает, что происходит в цепи именно сейчас, но само по себе не говорит, сколько теплоты выделится за целый период. Поэтому для оценки общего действия переменного тока используют другую характеристику.

Действующее значение силы тока — сила постоянного тока, который за то же время выделил бы в том же сопротивлении такое же количество теплоты, как переменный. Это определение позволяет сравнивать переменный и постоянный токи по их нагревательному действию. Действующее значение обычно обозначают I.

Действующее значение напряжения — напряжение постоянного тока, которое на том же сопротивлении создало бы такую же среднюю мощность, как переменное напряжение. Оно помогает применять к цепям переменного тока привычные расчёты для резистора. Обозначение действующего напряжения — U.

Как это устроено

Переменный ток меняется со временем, поэтому в разные моменты его сила неодинакова и может даже менять знак. Если взять только одно мгновенное значение, оно не опишет действие тока за весь период. Для оценки нагрева нужно учитывать ток на протяжении всего времени, а не в отдельный момент.

Причина такого усреднения связана с законом Джоуля — Ленца: мощность, выделяемая в резисторе, равна P = i²R. Квадрат силы тока не становится отрицательным при смене направления, поэтому ток нагревает резистор в обеих половинах периода. У синусоиды среднее за период значение квадрата тока равно половине квадрата амплитуды: ⟨i²⟩ = Iₘ²/2.

Чтобы найти постоянный ток с тем же тепловым действием, приравнивают его мощность I²R к средней мощности переменного тока. Получается I²R = Iₘ²R/2, откуда I = Iₘ/√2. Значит, действующее значение синусоидального тока меньше амплитуды: амплитуда показывает наибольшее мгновенное значение, а действующее — равносильный ему по нагреву постоянный ток.

Для напряжения рассуждение аналогично. На сопротивлении мощность можно выразить через напряжение как P = u²/R, поэтому среднее за период значение квадрата синусоидального напряжения равно Uₘ²/2. Приравнивая эту среднюю мощность к мощности постоянного напряжения, получаем U = Uₘ/√2.

Для активного сопротивления средняя мощность переменного тока рассчитывается по действующим значениям так же, как мощность постоянного тока: P = I²R или P = U²/R. Это возможно потому, что определения I и U уже учитывают усреднение по времени. Если вместо них подставить амплитуды, расчёт даст неверный результат: амплитуда не является эквивалентным постоянным значением.

Мгновенные, амплитудные и действующие значения переменного тока

Сначала определите, о какой величине идёт речь и какое значение дано: мгновенное, амплитудное или действующее. Затем используйте соответствующую формулу; деление на √2 применяют при синусоидальном сигнале. Для расчёта средней мощности на резисторе берите действующие значения.

Разбор задач

Амплитуда синусоидального тока равна 4 А. Найдите его действующее значение.

1. Дано амплитудное значение Iₘ = 4 А, а требуется найти действующее I. Ток синусоидальный, поэтому подходит формула I = Iₘ/√2.
2. Подставляем амплитуду: I = 4/√2 А ≈ 2,83 А. Единица измерения остаётся ампером, поскольку деление на √2 не меняет размерность величины.

Ответ: действующее значение тока примерно равно 2,8 А. Оно меньше амплитуды, поскольку ток достигает максимума лишь в отдельные моменты периода.

Вольтметр переменного тока показывает 220 В. Найдите амплитуду синусоидального напряжения.

1. Показание обычного вольтметра переменного тока — действующее напряжение U = 220 В. Искомая амплитуда связана с ним формулой U = Uₘ/√2.
2. Выражаем амплитуду: Uₘ = U√2. Подставляем число: Uₘ = 220√2 В ≈ 311 В.

Ответ: амплитуда напряжения приблизительно равна 311 В. Перед вычислением важно определить, что 220 В — не максимум, а действующее значение.

К резистору сопротивлением 50 Ом приложено синусоидальное напряжение с амплитудой 100 В. Найдите среднюю мощность, выделяемую за период.

1. Формула P = U²/R требует действующего напряжения, а в условии дана амплитуда Uₘ = 100 В. Сначала преобразуем её: U = Uₘ/√2 = 100/√2 В.
2. Подставляем действующее напряжение и сопротивление: P = U²/R = (100/√2)²/50 = 10 000/(2·50) Вт. Получаем P = 100 Вт.

Ответ: средняя мощность равна 100 Вт. Если подставить в формулу амплитуду напрямую, результат окажется вдвое больше, потому что не будет учтено усреднение мощности за период.

Типичные ошибки

Ошибка — считать действующее значение равным амплитуде. Их путают, потому что обе величины описывают один и тот же переменный сигнал, но амплитуда является максимумом. Для синусоиды проверьте ответ по соотношению I = Iₘ/√2 или U = Uₘ/√2: действующее значение должно быть меньше амплитуды.

Ошибка — применять коэффициент 1/√2 к любому сигналу. Это соотношение получают при усреднении квадрата синусоиды, поэтому форма сигнала имеет значение. Перед применением формулы проверьте, что ток или напряжение синусоидальны; иначе действующее значение находят усреднением квадрата за период.

Ошибка — путать мгновенное значение с действующим. Мгновенное i относится к конкретному моменту, а действующее I описывает тепловое действие за период. Чтобы проверить себя, посмотрите на обозначение и смысл величины в условии: отдельный момент времени указывает на мгновенное значение, а сравнение нагрева — на действующее.

Ошибка — подставлять амплитуду в формулу средней мощности на резисторе. Так делают, забывая, что P = I²R и P = U²/R записывают через действующие значения. Перед расчётом найдите, какой тип значения дан; если это амплитуда, сначала разделите её на √2, а затем вычисляйте мощность.

Связь с другими темами

Для изучения действующих значений нужны знания о периодических и синусоидальных процессах, амплитуде и зависимости величин от времени. Также пригодятся закон Джоуля — Ленца и формула мощности электрического тока: именно они объясняют, почему сравнивают среднее тепловое действие за период. Действующие значения используют при расчёте цепей переменного тока и при чтении показаний бытовых вольтметров и амперметров. Так связь с уже знакомыми законами помогает перейти от описания сигнала к практическим расчётам.

Что запомнить

• Действующее значение характеризует тепловое действие переменного тока.
• Для синусоидального тока действующее значение равно амплитуде, делённой на √2.
• Для синусоидального напряжения действует такое же соотношение.
• Действующие значения не равны мгновенным значениям.
• Вольтметры и амперметры переменного тока обычно показывают действующие значения.
• Формула средней мощности через действующие значения применима к активному сопротивлению.