3. Соотношение между смещением, скоростью и ускорением тела при гармонических колебаниях

Определения и обозначения

Смещение — координата тела относительно положения равновесия: x(t) = A cos(ωt + φ). Оно может быть положительным или отрицательным, а его наибольшее по модулю значение равно амплитуде A. По смещению видно, где находится тело и в какую сторону от равновесия оно отклонено.

Скорость — производная смещения по времени: v(t) = dx/dt. Она показывает, как быстро и в какую сторону изменяется координата. Знак скорости помогает определить направление движения, а её модуль — быстроту тела в данный момент.

Ускорение — производная скорости по времени и вторая производная смещения: a(t) = dv/dt = d²x/dt². Оно характеризует изменение скорости, а не само движение тела. Знак ускорения указывает направление, в котором скорость изменяется.

Циклическая частота — величина ω = 2π/T, определяющая быстроту гармонических колебаний, где T — период одного полного колебания. В отличие от частоты ν, считающей число колебаний за секунду, ω характеризует изменение фазы за секунду. Эта величина входит в формулы скорости и ускорения.

Как это устроено

Чтобы получить скорость, закон x(t) = A cos(ωt + φ) дифференцируют по времени. По правилу цепочки производная косинуса даёт минус синус, а производная выражения ωt + φ равна ω, поэтому v(t) = −ωA sin(ωt + φ). Ещё одно дифференцирование даёт a(t) = −ω²A cos(ωt + φ). Множитель ω появляется при каждом дифференцировании, поскольку фаза изменяется со временем с постоянной скоростью ω.

Фаза показывает, на каком этапе колебания находится тело. Скорость описывается через −sin вместо cos, то есть её колебание сдвинуто относительно смещения на четверть периода, или π/2 по фазе. Ускорение снова пропорционально cos, но с противоположным знаком, поэтому оно находится в противофазе со смещением: когда x максимально положительно, a максимально отрицательно. Такой сдвиг объясняется тем, что скорость достигает экстремума при прохождении равновесия, а ускорение — при наибольшем отклонении.

В равновесии x = 0, поэтому тело движется с наибольшей скоростью: v² = ω²(A² − x²) становится равным ω²A². В крайнем положении смещение по модулю равно A, и скорость обращается в ноль: тело меняет направление движения. Ускорение же там максимально по модулю, потому что |a| = ω²|x|. Скорость и ускорение поэтому достигают максимумов в разных местах.

Подстановка закона смещения в выражение для ускорения даёт a = −ω²x. Минус означает не уменьшение ускорения, а его направление: при положительном смещении ускорение отрицательно, а при отрицательном — положительно. В обоих случаях оно направлено обратно, к положению равновесия. Именно такое ускорение возвращает тело после отклонения.

Связь смещения и скорости можно получить, исключив время из формул колебания, или из равенства sin²α + cos²α = 1. В результате v² = ω²(A² − x²), где x — смещение в выбранный момент. Формула сразу даёт модуль скорости и показывает, что |x| не может быть больше A. Знак скорости по ней определить нельзя: для направления нужно знать, движется тело к равновесию или от него.

Для наглядности сравните графики: все три величины повторяются с периодом T, но их фазы и масштабы различаются.

Соотношение смещения, скорости и ускорения при гармонических колебаниях

Сначала определите, какое состояние тела описывает условие: смещение, скорость или ускорение. Затем выберите соответствующую строку и проверьте, в каких единицах заданы величины. Фазовый сдвиг показывает, в какие моменты графики достигают максимумов и нулей.

Разбор задач

Скорость и ускорение по закону движения

Тело движется по закону x = 0,08 cos(4πt) м. Найдём скорость и ускорение при t = 0,25 с. Здесь амплитуда равна 0,08 м, циклическая частота — 4π рад/с, начальная фаза равна нулю. Сначала найдём общие формулы, чтобы не перепутать знак при подстановке.

1. Дифференцируем закон: v(t) = −0,32π sin(4πt) м/с.
2. Дифференцируем ещё раз: a(t) = −1,28π² cos(4πt) м/с².
3. При t = 0,25 с аргумент равен 4π · 0,25 = π. Так как sin π = 0, а cos π = −1, получаем v = 0 и a = 1,28π² ≈ 12,6 м/с².

Ответ: v = 0 м/с, a ≈ 12,6 м/с². Тело находится в крайнем положении: скорость равна нулю, а ускорение направлено обратно к равновесию.

Максимальные значения и скорость при заданном смещении

Дано: A = 6 см, T = 2 с; требуется найти максимальные скорость и ускорение, а также скорость при x = 3 см. Период сначала нужно перевести в циклическую частоту, потому что именно ω входит в формулы. Смещение и амплитуду можно оставить в сантиметрах, если скорость нужна в см/с, а ускорение — в см/с².

1. Вычисляем ω = 2π/T = π рад/с.
2. Находим максимумы: v_max = ωA = 6π ≈ 18,8 см/с; a_max = ω²A = 6π² ≈ 59,2 см/с².
3. При x = 3 см применяем v² = ω²(A² − x²): v² = π²(36 − 9) = 27π². Значит, |v| = 3√3π ≈ 16,3 см/с.

Ответ: v_max ≈ 18,8 см/с, a_max ≈ 59,2 см/с²; при смещении 3 см модуль скорости равен примерно 16,3 см/с. Знак скорости без сведений о направлении движения определить нельзя.

Амплитуда и ускорение по смещению и скорости

В данный момент x = 4 см, |v| = 30 см/с, период T = 2 с. Искомую амплитуду найдём из связи скорости со смещением, а затем вычислим ускорение. Поскольку в условии дана скорость по модулю, сначала используем её квадрат; результат не зависит от направления движения.

1. Находим циклическую частоту: ω = 2π/T = π рад/с.
2. Из v² = ω²(A² − x²) получаем A² = x² + v²/ω² = 16 + 900/π² см². Поэтому A ≈ 10,9 см.
3. Ускорение равно a = −ω²x = −4π² см/с² ≈ −39,5 см/с². Отрицательный знак показывает, что оно направлено к равновесию при положительном смещении.

Ответ: A ≈ 10,9 см, a ≈ −39,5 см/с². Амплитуда больше текущего смещения, как и должно быть для колебаний.

Типичные ошибки

Путать смещение с пройденным путём. Путь — скалярная длина траектории, а смещение отсчитывается от равновесия и имеет знак. Ошибка возникает, когда любое расстояние до точки принимают за смещение. Проверка: уточните, спрашивается ли координата относительно равновесия или длина пройденного участка.

Записывать a = ω²x без минуса. Так теряется направление ускорения: при таком знаке оно оказалось бы направлено от равновесия. Минус следует из второй производной косинуса. Проверьте формулу на x > 0: ускорение должно быть отрицательным.

Считать, что скорость и ускорение максимальны одновременно. Их максимумы относятся к разным положениям: скорость максимальна при x = 0, ускорение по модулю — при |x| = A. Путаница возникает, если не различать саму скорость и её изменение. Сверяйте вывод с формулами v² = ω²(A² − x²) и |a| = ω²|x|.

Подставлять обычную частоту вместо циклической. Если ν или T подставить в формулы вместо ω, изменятся численное значение и размерность результата. Сначала используйте ω = 2πν или ω = 2π/T. Самопроверка: ω измеряется в рад/с, ν — в герцах.

Связь с другими темами

Для изучения этих зависимостей понадобятся закон гармонических колебаний, понятия амплитуды, периода, частоты и фазы, а также правила дифференцирования синуса и косинуса. Полученные формулы применяются при анализе пружинного и математического маятников: они связывают положение тела с тем, как быстро оно движется и как меняет скорость. Та же связь между колеблющимися величинами помогает изучать энергию колебаний, резонанс, волны и переменный ток.

Что запомнить

• x = A cos(ωt + φ).
• v = −ωA sin(ωt + φ).
• a = −ω²A cos(ωt + φ) = −ω²x.
• Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на π/2.
• Ускорение находится в противофазе со смещением.
• v_max = ωA, a_max = ω²A.
• v² = ω²(A² − x²).