"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
При равномерном движении по окружности тело сохраняет модуль скорости, но непрерывно меняет её направление. Поэтому движение нельзя считать равноускоренным или движением без ускорения: возникает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. Разберём период и частоту обращения, связь скорости с радиусом и время одного оборота, а также научимся находить ускорение по основным формулам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по круговой траектории с постоянным модулем скорости. Направление скорости в каждой точке задаётся касательной к окружности и всё время меняется. Поэтому равномерность здесь относится только к быстроте движения, а не к вектору скорости целиком.
Период обращения T — время одного полного оборота тела. Единица периода в СИ — секунда (с), а если за время t тело совершает N оборотов, то T = t/N. Период показывает, сколько времени требуется для повторения движения.
Частота обращения ν — число полных оборотов за единицу времени. Её единица в СИ — герц (Гц), причём 1 Гц означает один оборот за секунду. Период и частота связаны формулой ν = 1/T: чем чаще происходят обороты, тем меньше время одного оборота.
Центростремительное ускорение aц — ускорение тела при движении по окружности, направленное к её центру. Оно не разгоняет тело вдоль траектории, а изменяет направление вектора скорости. Его модуль зависит от скорости движения и радиуса окружности.
В разных точках окружности вектор скорости направлен по-разному: в каждой точке он касается траектории. Даже если длина этого вектора, то есть быстрота, постоянна, сам вектор изменяется. А ускорение определяется изменением вектора скорости за время, поэтому при движении по окружности оно не равно нулю.
Рассмотрим два близких положения тела на окружности. Векторы скоростей в этих точках имеют одинаковые длины, но немного повёрнуты относительно друг друга; если вычесть начальный вектор из конечного, получится вектор изменения скорости. При малом промежутке времени он направлен практически к центру окружности, поэтому туда же направлено и ускорение.
Геометрия малой дуги окружности даёт связь между изменением скорости и поворотом радиуса. После деления изменения скорости на промежуток времени получают модуль ускорения aц = v²/R. Из формулы видно: при увеличении скорости ускорение растёт как квадрат скорости, а при увеличении радиуса при той же скорости уменьшается.
За один период тело проходит длину окружности 2πR, поэтому его скорость равна v = 2πR/T. Так как ν = 1/T, эту же зависимость можно записать как v = 2πRν. Подставляя её в aц = v²/R, получаем aц = 4π²R/T² и aц = 4π²Rν².
Не следует смешивать ускорение с изменением быстроты. Быстрота при равномерном движении по окружности постоянна, но направление скорости меняется каждое мгновение. Именно это изменение делает ускорение ненулевым, хотя тело не движется всё быстрее или медленнее.
Таблица помогает выбрать нужную величину и формулу в зависимости от данных задачи. Сначала определите, что известно: радиус, время, число оборотов или скорость, а затем используйте связь между величинами. В последнем столбце указаны направление векторной величины и единица измерения.
| Величина | Обозначение | Формула или связь | Направление и единица |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | — | От центра к траектории; м |
| Период обращения | T | T = t/N = 1/ν | Скалярная; с |
| Частота обращения | ν | ν = N/t = 1/T | Скалярная; Гц |
| Модуль скорости | v | v = 2πR/T = 2πRν | По касательной; м/с |
| Модуль центростремительного ускорения | aц | aц = v²/R = 4π²R/T² | К центру; м/с² |
Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Требуется найти модуль центростремительного ускорения. Из условия известны именно скорость и радиус, поэтому удобнее всего применить формулу aц = v²/R.
Ответ: aц = 8 м/с². Направление ускорения — к центру окружности, независимо от того, в какую сторону тело движется по кругу.
Тело совершает 5 оборотов за 10 с по окружности радиусом 1,5 м. Нужно найти период, частоту, скорость и ускорение. Сначала определим характеристики обращения по числу оборотов, затем найдём скорость за один оборот и подставим её в формулу ускорения.
Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц, v ≈ 4,71 м/с, aц ≈ 14,8 м/с². Округление выполнено до трёх значащих цифр.
Автомобиль проходит поворот радиусом 50 м со скоростью 10 м/с, а затем увеличивает её до 15 м/с. Радиус не меняется, поэтому ускорение сравним по квадратам скоростей. Сначала найдём начальное ускорение, затем вычислим новое и отношение величин.
Ответ: центростремительное ускорение увеличится в 2,25 раза, с 2 м/с² до 4,5 м/с². Увеличение не в 1,5 раза объясняется квадратом скорости в формуле.
Ошибка — считать ускорение нулевым, потому что модуль скорости постоянен. Так происходит при смешении быстроты и векторной скорости: её направление меняется. Проверьте себя: если траектория искривлена, направление скорости изменяется, значит, ускорение есть.
Ошибка — направлять ускорение по касательной вместе со скоростью. Касательная показывает направление мгновенной скорости, а центростремительное ускорение направлено к центру и перпендикулярно ей. Полезно мысленно провести радиус из точки тела к центру.
Ошибка — использовать aц = v/R вместо aц = v²/R. Неправильная формула часто появляется из-за потери квадрата при подстановке. Проверьте размерность: только v²/R даёт м/с².
Ошибка — путать период и частоту или считать их одинаковыми величинами. Период измеряют в секундах и считают временем одного оборота, а частоту — в герцах и считают числом оборотов за секунду. Самопроверка: T = 1/ν, поэтому произведение Tν должно быть равно единице.
Для понимания темы нужны представления о векторе скорости и ускорении как изменении скорости, а также знания о движении по окружности. Пригодятся формулы периода и частоты, потому что через них выражается линейная скорость.
Центростремительное ускорение используется при изучении движения спутников и планет, вращения тел и движения заряженных частиц. Позже оно поможет анализировать силы, которые удерживают тело на криволинейной траектории.
Почему тело ускоряется, если его скорость по модулю не меняется?
Скорость — векторная величина: она имеет не только модуль, но и направление. При движении по окружности направление скорости меняется, поэтому изменяется сама скорость и возникает ускорение.
Куда направлено ускорение тела в каждой точке окружности?
Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности. Оно перпендикулярно мгновенной скорости, которая направлена по касательной.
Как связаны период и частота обращения?
Период T — время одного оборота, а частота ν — число оборотов за единицу времени. Поэтому они взаимно обратны: ν = 1/T, а T = 1/ν.
Как изменится центростремительное ускорение при удвоении скорости?
Из формулы aц = v²/R следует квадратичная зависимость от скорости. При удвоении скорости ускорение увеличится в четыре раза.
Почему при увеличении радиуса окружности ускорение уменьшается, если скорость постоянна?
При одной и той же скорости на большей окружности направление вектора скорости за такой же промежуток времени меняется менее резко. Поэтому из формулы aц = v²/R видно: увеличение радиуса в несколько раз уменьшает ускорение во столько же раз.
2. Ускорение тела при равномерном движении по окружности
