§ 23. Центр тяжести. Виды равновесия

Определения и обозначения

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на тело. Её положение зависит от формы тела и распределения массы: если масса расположена неравномерно, точка смещается к более тяжёлой части. Это позволяет заменить множество сил тяжести одной силой.

Равновесие тела — состояние покоя или равномерного поступательного движения. Для него равнодействующая сил должна быть равна нулю, а суммарный момент сил относительно любой точки — также нулю. Эти условия показывают, что тело не начинает ни двигаться поступательно, ни вращаться.

Устойчивое равновесие — равновесие, при котором после небольшого отклонения возникает действие, возвращающее тело в исходное положение. Такое действие обычно связано с моментом силы тяжести, направленным против отклонения. Поэтому тело само стремится вернуться назад.

Неустойчивое равновесие после отклонения сменяется движением, удаляющим тело от исходного положения, а при безразличном равновесии тело остаётся в равновесии в новом положении. Сравнение этих случаев помогает предсказать поведение тела без подробного расчёта его движения.

Как это устроено

У протяжённого тела сила тяжести действует на каждый его малый участок, поэтому формально имеется много сил. Их можно заменить одной равнодействующей, если выбрать точку приложения так, чтобы общий момент сил не изменился. Такой точкой и является центр тяжести, поэтому при расчёте движения и равновесия тела используют одну силу тяжести, приложенную к нему.

У однородного симметричного тела центр тяжести находят по симметрии: он лежит на каждой оси или плоскости симметрии. Например, у диска это геометрический центр, а у однородного стержня — середина. Центр тяжести может оказаться вне вещества, потому что он определяется не обязательным наличием материала в точке, а равным действием распределённых сил; так происходит у кольца.

Центр тяжести плоской фигуры неправильной формы находят подвешиванием. Если фигура свободно висит на нити, сила тяжести и натяжение нити уравновешивают друг друга, поэтому их линии действия совпадают. Следовательно, центр тяжести лежит на вертикали, проведённой через точку подвеса; после подвешивания за другую точку получают вторую вертикаль.

Пересечение двух вертикалей определяет центр тяжести, поскольку искомая точка должна принадлежать каждой из них. После этого можно проверить результат третьим подвешиванием: новая вертикаль должна пройти через найденную точку. Метод работает для плоской пластины, если она может свободно вращаться вокруг точки подвеса.

При опоре тела важна не сама высота центра тяжести, а положение его вертикальной проекции относительно площади опоры. Пока проекция находится внутри этой площади, сила тяжести создаёт возвращающий момент, и тело может вернуться. Когда вертикаль выходит за край опоры, момент опрокидывает тело; широкая опора и низкий центр тяжести увеличивают запас устойчивости.

Виды равновесия тела

Сначала определите, куда переместится центр тяжести при отклонении, а затем мысленно оцените направление момента силы тяжести. Если момент возвращает тело, равновесие устойчивое; если увеличивает наклон — неустойчивое. При отсутствии стремления вернуться или опрокинуться равновесие безразличное.

Разбор задач

Задача 1. Положение центра тяжести симметричных тел

Условие: Определите положение центра тяжести однородного круглого диска и однородного стержня. Нужно использовать только форму тел и равномерность распределения массы.

1. У диска есть бесконечно много осей симметрии, проходящих через его центр. Центр тяжести должен лежать на каждой из них.
2. Единственная общая точка всех этих осей — центр диска, значит, там и находится центр тяжести.
3. У стержня симметрия относительно поперечной плоскости через середину. Поэтому центр тяжести расположен посередине стержня.

Ответ: центр тяжести диска находится в его геометрическом центре, а центр тяжести однородного стержня — в середине стержня.

Задача 2. Нахождение центра тяжести пластинки

Условие: Плоскую пластинку подвесили сначала за одну точку, затем за другую. Как по двум опытам найти её центр тяжести?

1. Подвесьте пластинку за первую точку и дождитесь покоя. Приложите к нити отвес и проведите на пластинке вертикальную линию через точку подвеса.
2. Повторите опыт с другой точкой подвеса. Проведите вторую вертикаль в новом положении пластинки.
3. Искомый центр тяжести лежит на обеих вертикалях, поэтому найдите их пересечение. Две линии нужны, чтобы однозначно определить точку на плоскости.

Ответ: центр тяжести находится в пересечении вертикалей, проведённых по отвесу из двух точек подвеса.

Задача 3. Сравнение устойчивости тел

Условие: Сравните два одинаковых по массе тела: одно стоит на широкой опоре и имеет низкий центр тяжести, другое — на узкой опоре и имеет высокий центр тяжести. Какое тело труднее опрокинуть?

1. Проведите вертикаль через центр тяжести каждого тела. Опрокидывание начнётся, когда эта вертикаль выйдет за границу площади опоры.
2. У широкого основания граница находится дальше от центрального положения, поэтому телу нужен больший наклон для выхода вертикали за опору.
3. Низкий центр тяжести при том же наклоне смещает вертикаль меньше, чем высокий. Значит, широкая опора и низкий центр тяжести действуют совместно.

Ответ: устойчивее первое тело — с широкой опорой и низким центром тяжести. Массы тел одинаковы, но масса сама по себе не определяет устойчивость.

Типичные ошибки

Центр тяжести всегда внутри тела. Так считают, потому что мысленно связывают точку с веществом. Проверьте себя на примере кольца: его центр тяжести находится в отверстии, вне материала.

Центр тяжести всегда совпадает с геометрическим центром. Это верно лишь для симметричного тела с подходящим распределением массы. Если одна часть тяжелее, представьте ось симметрии массы: смещение к тяжёлой части покажет ошибку.

Устойчивость зависит только от массы. Более тяжёлое тело не всегда труднее опрокинуть: важны также высота центра тяжести и ширина опоры. Проверьте, где вертикаль через центр тяжести раньше выйдет за площадь опоры.

Любое отклонённое тело возвращается. Возврат характерен только для устойчивого равновесия. Определите направление момента силы тяжести: если он усиливает наклон, тело не вернётся в исходное положение.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о силе тяжести, равнодействующей сил и условиях равновесия. В частности, важно уметь применять равенство нулю суммарного момента сил.

Центр тяжести используют при расчёте равновесия конструкций, выборе положения опор и анализе опрокидывания. Поэтому понятие встречается в инженерии, строительстве и технике.

Тема относится к механике твёрдого тела и подготавливает к дальнейшему изучению моментов сил и равновесия тел. Через неё связываются распределение массы, вращательное действие сил и устойчивость.

Что запомнить

• Силу тяжести, действующую на тело, можно считать приложенной к его центру тяжести.
• Для однородного симметричного тела центр тяжести находится на осях симметрии.
• При подвешивании тела центр тяжести лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса.
• При устойчивом равновесии небольшое отклонение вызывает возвращающее действие.
• При неустойчивом равновесии небольшое отклонение увеличивается.
• При безразличном равновесии тело остаётся в равновесии после перемещения.
• Устойчивость повышается, если центр тяжести расположен ниже, а площадь опоры шире.