"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Векторная величина имеет не только числовое значение, но и направление, а иногда учитывается также точка приложения. Поэтому векторы нельзя складывать и вычитать так же, как обычные числа: результат зависит от их направлений. В параграфе разобраны равные и противоположные векторы, правила построения суммы и разности, умножение вектора на число и вычисления по координатам. Эти действия нужны для описания перемещения, скорости, ускорения и силы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Векторная величина имеет числовое значение, направление и точку приложения. Её изображают направленным отрезком со стрелкой: длина отрезка связана с модулем, а стрелка показывает направление. Скалярная величина, например масса или температура, описывается только числом с единицей измерения.
Равные векторы имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону, независимо от положения на рисунке. Такой вектор можно параллельно перенести, не изменяя его свойств. Это позволяет удобно совмещать векторы при построениях.
Сумма векторов — вектор, который получают последовательным сложением исходных векторов. Для двух векторов его строят по правилу треугольника или параллелограмма. Сумма показывает общее действие нескольких направленных перемещений или других физических величин.
Разность векторов — это сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Противоположный вектор имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону. Такое определение превращает вычитание в уже знакомое сложение.
При последовательном перемещении тело сначала проходит один направленный отрезок, затем другой. Общее перемещение соединяет начальную точку с конечной, поэтому результат идёт от начала первого вектора до конца последнего. Сумма длин этих отрезков описывает путь и обычно больше модуля перемещения, потому что не учитывает возможное возвращение или изменение направления.
По правилу треугольника конец первого вектора совмещают с началом второго, сохраняя длину и направление каждого. Затем проводят вектор от начала первого к концу второго. Правило параллелограмма даёт тот же результат, потому что его диагональ представляет совместное действие двух векторов, приложенных к одной точке.
Чтобы найти разность a − b, сначала строят вектор −b: он равен b по длине, но направлен противоположно. После этого складывают a и −b одним из обычных геометрических правил. Причина такой замены в том, что прибавление противоположного направления как раз уменьшает вклад исходного вектора b.
При умножении вектора a на положительное число k его направление сохраняется, а длина изменяется в k раз. При отрицательном k длина изменяется в |k| раз, но направление разворачивается на 180 градусов. При k = 0 получается нулевой вектор, у которого длина равна нулю и направление не определяется.
В координатах одинаковые действия выполняют отдельно с каждой координатой. Если a = (aₓ, aᵧ), b = (bₓ, bᵧ), то a + b = (aₓ + bₓ, aᵧ + bᵧ), а a − b = (aₓ − bₓ, aᵧ − bᵧ). Умножение записывают так: ka = (kaₓ, kaᵧ), а длину результата находят по теореме Пифагора.
Таблица связывает геометрическое представление с вычислениями по координатам. В строке про вычитание сначала заменяйте второй вектор противоположным, а затем применяйте правило сложения. Для проверки результата сравните его направление и длину с тем, что получается на чертеже.
| Действие | Геометрическое построение | Координатная запись | Что происходит с направлением и длиной |
|---|---|---|---|
| Сложение двух векторов | Конец первого совмещают с началом второго; соединяют начало первого с концом второго. | (aₓ, aᵧ) + (bₓ, bᵧ) = (aₓ + bₓ, aᵧ + bᵧ) | Направление определяется обоими векторами, длина зависит от угла между ними. |
| Вычитание двух векторов | К первому вектору прибавляют вектор, противоположный второму. | (aₓ, aᵧ) − (bₓ, bᵧ) = (aₓ − bₓ, aᵧ − bᵧ) | Направление и длина зависят от направлений и модулей обоих векторов. |
| Умножение вектора на положительное число | Направление сохраняют, длину откладывают в k раз. | k(aₓ, aᵧ) = (kaₓ, kaᵧ), k > 0 | Направление сохраняется, длина умножается на k. |
| Умножение вектора на отрицательное число | Вектор разворачивают и изменяют его длину в |k| раз. | k(aₓ, aᵧ) = (kaₓ, kaᵧ), k < 0 | Направление становится противоположным, длина умножается на |k|. |
| Умножение вектора на ноль | Получают точку, или нулевой вектор. | 0(aₓ, aᵧ) = (0, 0) | Длина становится нулевой, направление отсутствует. |
Условие. Вектор a направлен вправо и имеет длину 4 клетки, а вектор b — вверх и имеет длину 3 клетки. Построить сумму и определить направление результирующего вектора.
Ответ. Сумма направлена вверх и вправо, её длина равна 5 клеткам.
Условие. Даны векторы a = (3, 4) и b = (−1, 2). Найти координаты a + b, a − b и длины полученных векторов.
Ответ. a + b = (2, 6), его длина 2√10; a − b = (4, 2), его длина 2√5.
Условие. Тело переместилось на 6 м вправо, а затем на 8 м вверх. Найти результирующее перемещение и сравнить его с пройденным путём.
Ответ. Результирующее перемещение равно 10 м и направлено по диагонали вверх и вправо; путь равен 14 м.
Складывать длины вместо векторов. Так поступают, когда смешивают путь и перемещение. Проверьте себя: если направление движения менялось, постройте соединяющий вектор и сравните его модуль с суммой длин.
Соединять начала векторов при построении суммы. Ошибка возникает из-за невнимания к правилу треугольника. Начало второго вектора нужно совместить с концом первого, а итог провести от начала первого к концу второго.
Вычитать длины без учёта направлений. Обычное вычитание модулей возможно только в специальных случаях, например для сонаправленных или противоположно направленных векторов. Надёжная проверка — заменить a − b на a + (−b) и выполнить построение.
Сохранять направление при отрицательном множителе. Такой результат получают, если смотрят только на изменение длины. При умножении на отрицательное число нужно развернуть вектор на 180 градусов, а длину умножить на модуль множителя.
До изучения действий с векторами нужны понятия направления и модуля числа, координаты точки на плоскости и теорема Пифагора. Они помогают читать чертежи и находить длину вектора по его координатам.
Векторный язык используется для описания перемещения, скорости, ускорения и силы. Во всех этих случаях важно учитывать не только величину, но и направление физического процесса.
В задачах механики векторы раскладывают по координатным осям. После этого сложение, вычитание и умножение становятся обычными действиями с координатами, а геометрический смысл помогает проверить ответ.
Почему при сложении векторов нельзя просто сложить их модули?
Модуль вектора показывает только его длину, но не учитывает направление. При сложении векторов результат зависит от угла между ними: векторы могут усиливать друг друга, частично компенсироваться или быть направлены противоположно.
Можно ли перенести вектор в другое место рисунка?
Да, если вектор не привязан к конкретной точке приложения, его можно параллельно перенести, не меняя длину и направление. Именно поэтому равные векторы могут находиться в разных местах рисунка.
Чем отличаются сумма векторов и сумма их длин?
Сумма векторов является новым вектором и учитывает направления слагаемых. Сумма длин является обычным числом и равна длине пройденного пути, поэтому она не всегда совпадает с модулем результирующего вектора.
Почему при вычитании появляется противоположный вектор?
Вычитание заменяют сложением с вектором, направленным в противоположную сторону и имеющим ту же длину. Такой вектор называют противоположным, поэтому a − b = a + (−b).
Что меняется в векторе при умножении на отрицательное число?
Длина вектора увеличивается в |k| раз, а направление меняется на противоположное. Например, при умножении на −2 вектор становится вдвое длиннее и разворачивается на 180 градусов.
4. Действия с векторными величинами.
