"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Катящееся без проскальзывания колесо одновременно перемещается вперёд и вращается вокруг центра. Эти два движения определяют скорости всех его точек: центр движется со скоростью v, верхняя точка — со скоростью 2v, а точка контакта с неподвижной опорой мгновенно покоится. Главное соотношение темы — v = ωR, где R — радиус колеса, а ω — его угловая скорость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Качение без проскальзывания — движение, при котором точка колеса в месте контакта с неподвижной опорой мгновенно покоится относительно опоры. Колесо при этом не скользит по поверхности, а как бы перекатывается через каждую следующую точку дороги. Это условие связывает поступательное движение колеса с его вращением.
Скорость центра колеса — скорость поступательного движения всего колеса вместе с его центром. Её обычно обозначают буквой v; направление скорости совпадает с направлением движения колеса вдоль опоры. Эта величина задаёт, насколько быстро колесо перемещается по дороге.
Угловая скорость колеса ω характеризует быстроту его вращения вокруг центра. Линейная скорость точек обода при вращении равна v = ωR, где R — радиус колеса. Формула позволяет переходить от числа оборотов за единицу времени к обычной скорости в метрах в секунду.
Мгновенная ось вращения — ось, вокруг которой тело можно считать вращающимся в конкретный момент. При качении без проскальзывания она проходит через точку контакта колеса с опорой. Такой взгляд удобен для определения скоростей, но эта ось не остаётся на одном месте во время движения.
Движение колеса удобно представить как сумму двух движений: поступательного движения центра и вращения колеса вокруг центра. Поэтому скорость любой точки складывается как вектор из скорости центра и скорости этой точки относительно центра. Векторы складываются с учётом не только модулей, но и направлений, поэтому у разных точек колеса получаются разные скорости.
Условие отсутствия проскальзывания требует, чтобы точка обода, касающаяся дороги, не перемещалась вдоль поверхности относительно неё. Для точки нижней части колеса вращательная скорость направлена противоположно скорости центра, а её модуль равен ωR. Компенсация возможна только при равенстве v = ωR; поэтому это соотношение является главным условием качения без проскальзывания.
Рассмотрим нижнюю точку колеса. Её поступательная скорость направлена вперёд вместе с центром и равна v, а вращательная скорость направлена назад и равна ωR. При выполнении условия v = ωR эти векторы взаимно уничтожаются, поэтому результирующая скорость точки контакта относительно земли равна нулю. Это не означает, что точка навсегда остановилась: через короткое время контактирует уже другой участок обода.
У центра вращательная составляющая отсутствует, поэтому его скорость относительно земли равна v. В верхней точке вращательная скорость направлена туда же, куда и поступательная, и имеет модуль ωR = v; значит, результирующая скорость равна 2v. В нижней точке направления противоположны, поэтому скорость равна нулю.
В каждый отдельный момент можно мысленно считать колесо вращающимся вокруг точки контакта с опорой: именно она имеет нулевую скорость. Но по мере продвижения колеса место контакта перемещается, а значит, меняется и мгновенная ось вращения. Называть её постоянной осью нельзя, поскольку постоянная ось должна сохранять положение относительно выбранной системы отсчёта.
| Точка колеса | Скорость относительно земли | Направление |
|---|---|---|
| Центр колеса | Модуль v = ωR | Вдоль движения колеса |
| Верхняя точка | Модуль 2v | Вдоль движения колеса |
| Точка контакта с опорой | Модуль 0 | Скорость отсутствует мгновенно |
| Точки обода относительно центра | Модуль ωR | По касательной к окружности |
Сначала определите, о какой системе отсчёта говорится: таблица даёт скорости относительно земли, кроме последней строки. Для верхней и нижней точек обязательно учитывайте направление вращательной составляющей, иначе нельзя правильно сложить скорости.
Условие: колесо радиуса 0,4 м катится без проскальзывания со скоростью центра 2 м/с. Найдите угловую скорость колеса.
Ответ: угловая скорость колеса равна 5 рад/с.
Условие: колесо радиуса R катится вправо без проскальзывания. Определите модуль и направление скорости верхней точки относительно земли.
Ответ: верхняя точка движется со скоростью 2v вправо.
Условие: колесо радиуса 0,3 м совершило 20 оборотов без проскальзывания. Скорость центра постоянна и равна 1,5 м/с. Найдите пройденный путь и время движения.
Ответ: путь равен 12π м, или примерно 37,7 м; время движения — 8π с, или примерно 25,1 с.
Скорость точки контакта считают равной скорости центра. Так делают, если рассматривают только поступательное движение и забывают о вращении. Проверьте направление: в нижней точке вращательная скорость противоположна скорости центра, поэтому итоговая скорость равна нулю.
Складывают модули скоростей верхней точки без учёта направлений. Модули можно просто складывать только у сонаправленных векторов. Для проверки нарисуйте стрелки: у верхней точки они направлены одинаково, а у нижней — навстречу друг другу.
Путают ω и v. Угловая скорость показывает вращение и измеряется в рад/с, а скорость центра показывает перемещение и измеряется в м/с. Проверить себя можно по формуле v = ωR: без радиуса эти величины нельзя приравнивать.
Точку контакта считают постоянной осью. Такое представление верно лишь в данный момент, потому что колесо перекатывается и место касания меняется. Если опора неподвижна, проследите за колесом: новая точка контакта появляется после каждого малого поворота.
Для анализа качения нужны векторное сложение скоростей, а также различие между поступательным и вращательным движением. Именно эти идеи объясняют, почему разные точки одного колеса имеют разные скорости.
Связь v = ωR соединяет линейные и угловые величины. Она пригодится при изучении движения твёрдого тела, вращения вокруг оси и перехода от числа оборотов к скорости.
Условие качения без проскальзывания применяют при изучении движения колёс, роликов и других тел на опоре. Оно позволяет находить путь, время, угловую скорость и скорости отдельных точек.
Почему точка контакта колеса с дорогой не скользит, хотя колесо движется?
При качении без проскальзывания поступательная скорость колеса и вращательная скорость точки контакта равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому их сумма относительно дороги равна нулю: точка контакта в данный момент покоится.
Как связаны скорость центра колеса и его угловая скорость?
Они связаны формулой v = ωR. Скорость центра v измеряется в метрах в секунду, угловая скорость ω — в радианах в секунду, а R — в метрах.
Почему верхняя точка колеса движется быстрее центра?
У верхней точки поступательная и вращательная скорости направлены одинаково, поэтому складываются. Скорость верхней точки относительно земли равна 2v.
Можно ли считать точку контакта постоянной осью вращения?
Только мгновенно. В каждый данный момент колесо можно рассматривать как вращающееся вокруг точки контакта, но при движении эта точка меняется, поэтому постоянной осью она не является.
Как найти путь, который прошло колесо, если известно число оборотов?
За один оборот колесо проходит расстояние, равное длине окружности: 2πR. Поэтому при N оборотах путь s = 2πRN, или s = Rφ, если известен угол поворота φ.
5. Катящееся без проскальзывания колесо
