"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Пружинный и математический маятники — модели колебательных систем, с помощью которых находят время одного полного колебания. Для пружинного маятника период определяется массой груза и жёсткостью пружины, а для математического — длиной нити и ускорением свободного падения. При малых колебаниях период не зависит от амплитуды. Эти зависимости помогают рассчитывать время колебаний, измерять g и понимать явления резонанса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пружинный маятник — тело, соединённое с пружиной и совершающее колебания около положения равновесия. Массу тела обозначают m, а жёсткость пружины — k. Эти величины нужны, чтобы определить, насколько трудно разогнать груз и насколько сильно пружина возвращает его к равновесию.
Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. Длину нити обозначают l; нить считают невесомой и нерастяжимой, а груз — точечным. Такая модель позволяет не учитывать размеры тела, массу нити и её растяжение.
Период колебаний — время одного полного колебания, его обозначают T. Полным считается возвращение системы в то же положение и к тому же направлению движения. Период показывает, как быстро повторяется движение.
Частота колебаний — число полных колебаний за единицу времени, её обозначают ν. Период и частота взаимно обратны: ν = 1/T. Поэтому при увеличении времени одного колебания число колебаний за секунду уменьшается.
У пружинного маятника при смещении груза возникает сила упругости, направленная к положению равновесия. По закону Гука её величина при малой деформации пропорциональна смещению: Fупр = −kx, где знак минус показывает противоположное направление. Второй закон Ньютона даёт уравнение m·a = −kx, а его решение является гармоническим движением с периодом T = 2π√(m/k).
Из формулы видно, почему масса и жёсткость влияют на период по-разному. Тяжёлый груз труднее разогнать, поэтому при той же пружине он колеблется медленнее, и T растёт как √m. Жёсткая пружина создаёт большую возвращающую силу, ускорение возрастает, а период уменьшается как 1/√k.
В идеальной пружинной системе амплитуда не входит в формулу периода. Это объясняется тем, что при увеличении смещения сила упругости возрастает пропорционально ему, поэтому характер движения сохраняется. На практике зависимость может нарушиться при большой деформации, когда закон Гука уже неприменим, или при заметном трении.
У математического маятника возвращающей является составляющая силы тяжести, направленная вдоль дуги движения к нижнему положению. При отклонении на угол α эта составляющая связана с sin α. Для малых углов sin α приближённо равен α, поэтому уравнение движения упрощается и приводит к формуле T = 2π√(l/g).
В этой формуле масса груза отсутствует, потому что и сила тяжести, и инертность пропорциональны массе. Длина нити влияет на период: длинная нить требует большего времени для прохождения дуги. Формулы считают применимыми при малом сопротивлении воздуха, слабом трении, лёгкой пружине и малой амплитуде математического маятника.
| Свойство | Пружинный маятник | Математический маятник |
|---|---|---|
| Что совершает колебания | Тело, прикреплённое к пружине | Материальная точка на нити |
| Причина возвращения к равновесию | Сила упругости | Составляющая силы тяжести |
| Основная формула периода | T = 2π√(m/k) | T = 2π√(l/g) |
| От чего зависит период | От массы m и жёсткости k | От длины l и ускорения свободного падения g |
| От чего не зависит в идеальной модели | От амплитуды | От массы груза и малой амплитуды |
| Условия применимости | Малое сопротивление и линейная деформация пружины | Малые углы отклонения и малая сопротивляемость воздуха |
Сначала определите, какая модель описана в условии, и только затем выбирайте формулу. После этого проверьте, какие величины входят в неё и как изменение каждой из них повлияет на период. Таблица также помогает не путать причины возвращения к равновесию у двух маятников.
Груз массой 0,25 кг прикреплён к пружине жёсткостью 100 Н/м. Найдём период малых колебаний. Даны m = 0,25 кг и k = 100 Н/м.
Ответ: период груза примерно равен 0,31 с.
Массу груза увеличили в 4 раза, а жёсткость пружины оставили прежней. Нужно понять, во сколько раз изменится период, не подставляя конкретные числа.
Ответ: период увеличится в 2 раза.
Математический маятник совершил 20 колебаний за 28,4 с. Найдём длину при g = 9,8 м/с². Сначала требуется определить период одного колебания.
Ответ: длина математического маятника примерно равна 0,50 м.
Подстановка массы или жёсткости пружины в формулу математического маятника возникает из-за смешения двух моделей. У математического маятника период задают длина и g, а у пружинного — масса и k. Проверьте себя: сначала назовите возвращающую силу, затем выберите формулу.
Иногда считают, что период любого маятника прямо пропорционален амплитуде. В идеальных формулах амплитуда не входит, но это справедливо только для малых колебаний и линейной пружины. Сверьте условие задачи с ограничениями модели.
Ещё одна ошибка — использовать число колебаний вместо периода. Если известно время нескольких колебаний, нужно разделить его на число полных повторений: T = t/N. Быстрая проверка: период должен иметь единицу секунды, а не быть безразмерным числом.
Период и частоту также часто путают местами. Они связаны соотношением ν = 1/T, поэтому увеличение периода означает уменьшение частоты. Проверьте смысл результата: за одну секунду система с большим периодом должна совершать меньше колебаний.
Для вывода формул нужны второй закон Ньютона, закон Гука, понятия равновесия, амплитуды, периода и частоты. Эти модели служат основой для изучения гармонических колебаний, энергии колебательной системы и резонанса. На практике формулы используют для расчёта времени колебаний, измерения ускорения свободного падения и настройки механических систем.
Почему период математического маятника не зависит от массы груза?
Сила тяжести увеличивается вместе с массой, но инертность груза возрастает в такой же пропорции. Поэтому масса сокращается в уравнении движения, и в формуле T = 2π√(l/g) её нет.
Почему в формуле пружинного маятника присутствует жёсткость пружины?
Жёсткость показывает, насколько сильно пружина сопротивляется деформации. Чем больше k, тем сильнее возвращающая сила при том же смещении и тем быстрее происходят колебания, поэтому период T = 2π√(m/k) уменьшается.
При каких условиях период математического маятника можно считать независимым от амплитуды?
Так считают при малых углах отклонения от вертикали, обычно когда угол выражен в радианах и невелик. Тогда sin α можно заменить на α, и движение становится близким к гармоническому.
Как определить период, если известно время нескольких колебаний?
Общее время наблюдения нужно разделить на число полных колебаний: T = t/N. Чем больше колебаний измерено, тем меньше относительная ошибка результата.
Как изменится период маятника при увеличении длины нити или массы груза?
У математического маятника при увеличении длины в 4 раза период возрастает в 2 раза, поскольку T ∝ √l. Масса груза на его период не влияет, если сохраняются идеальные условия.
1. Периоды колебаний пружинного и математического маятников
