2. Колебания груза, подвешенного на пружине

Определения и обозначения

Пружинный маятник — груз массой m, соединённый с пружиной и способный совершать свободные колебания около положения равновесия. Свободными называют колебания после того, как груз вывели из равновесия и перестали воздействовать на него извне. Такая модель позволяет связывать движение груза с упругостью пружины.

Положение равновесия — положение, в котором силы, действующие на груз, уравновешивают друг друга. Если груз немного сместить, равновесие нарушится и появится сила, стремящаяся вернуть его. От этой точки удобно отсчитывать смещение x, чтобы описывать движение.

Амплитуда колебаний — максимальное отклонение груза от положения равновесия; обозначается A. Она показывает, насколько далеко груз уходит в каждую сторону, и не совпадает с полным расстоянием между крайними точками: размах равен 2A. Амплитуда нужна, чтобы задать границы движения и начальную энергию колебательной системы.

Период и частота колебаний — время одного полного колебания T и число колебаний в единицу времени ν; связаны соотношением ν = 1/T. Период измеряют в секундах, частоту — в герцах. Эти величины отвечают на разные вопросы: сколько длится цикл и сколько циклов происходит за секунду.

Как это устроено

Когда груз смещают от положения равновесия, пружина растягивается или сжимается. По закону Гука возникает сила упругости, направленная к исходной длине пружины, то есть в сторону равновесия. Поэтому возвращающая сила направлена противоположно смещению: при выборе координаты x от равновесия её записывают F = −kx. Минус указывает именно на противоположные направления силы и смещения.

Рассмотрим горизонтальный маятник и направим ось x вдоль движения. На груз по этой оси действует сила упругости −kx, а второй закон Ньютона связывает её с ускорением: m·d²x/dt² = −kx. После деления на массу получаем d²x/dt² + (k/m)x = 0. Решение этого уравнения — гармоническое движение x = A cos(ωt + φ), где ω = √(k/m), а φ задаёт начальную фазу, то есть состояние колебания в выбранный момент времени.

У вертикального маятника на груз действуют и сила тяжести, и сила упругости. В положении равновесия они компенсируют друг друга: пружина уже растянута под действием веса. Если сместить груз относительно этого положения на x, дополнительное изменение силы упругости равно −kx; постоянная сила тяжести уже учтена в исходном растяжении. Поэтому уравнение для отклонения снова имеет вид m·d²x/dt² = −kx, и сила тяжести меняет положение равновесия, но не период малых колебаний.

Координата меняется по закону x = A cos(ωt + φ), а скорость получается её производной: v = −Aω sin(ωt + φ). Ускорение равно a = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x. Значит, графики координаты, скорости и ускорения — синусоиды или косинусоиды; фазы у них различаются. В крайних положениях скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю; в равновесии, наоборот, скорость максимальна, а ускорение равно нулю.

Из уравнения движения следует, что циклическая частота ω = √(k/m). Поскольку ω = 2π/T, период равен T = 2π√(m/k). Увеличение массы делает разгон и торможение груза более медленными, поэтому период растёт; более жёсткая пружина сильнее возвращает груз и сокращает период. Для идеальной пружины период не зависит от амплитуды, пока выполняется закон Гука.

Основные величины и закономерности пружинного маятника

Сначала определите, какая величина дана и какую требуется найти, а затем выберите соответствующую зависимость. Например, для нахождения частоты через период используйте ν = 1/T, а для силы — смещение относительно равновесия, а не полную длину пружины. Перед подстановкой проверьте единицы: масса должна быть в килограммах, расстояния — в метрах.

Разбор задач

Период и частота

Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м. Найдём период малых колебаний, а затем число колебаний в секунду. Даны m = 0,5 кг и k = 200 Н/м, поэтому значения уже выражены в единицах СИ.

1. Запишем формулу периода пружинного маятника: T = 2π√(m/k).
2. Подставим данные: T = 2π√(0,5/200) = 2π√0,0025 = 2π · 0,05 ≈ 0,314 с.
3. Используем связь частоты и периода: ν = 1/T ≈ 1/0,314 ≈ 3,18 Гц.

Ответ: T ≈ 0,31 с, ν ≈ 3,2 Гц. Период показывает длительность одного цикла, а частота — сколько таких циклов укладывается в секунду.

Изменение периода

Период маятника равен 0,4 с. Массу увеличивают в четыре раза, а жёсткость пружины уменьшают в два раза. Требуется определить, во сколько раз изменится период, поэтому подставлять неизвестные абсолютные значения m и k не нужно.

1. Используем зависимость T ∝ √(m/k).
2. Отношение нового периода к исходному равно √((4m)/(k/2)) / √(m/k) = √8 = 2√2 ≈ 2,83.
3. При желании найдём новый период: Tнов = 0,4 · 2√2 ≈ 1,13 с.

Ответ: период увеличится в 2√2 раза, то есть примерно в 2,8 раза, и станет около 1,13 с. Увеличение массы замедляет колебания, а уменьшение жёсткости ослабляет возвращающую силу; оба изменения увеличивают период.

Максимальная скорость

Груз массой 0,2 кг на вертикальной пружине отклонили от равновесия на 5 см и отпустили. Жёсткость пружины равна 80 Н/м; нужно найти максимальную скорость. Максимальная скорость достигается при прохождении положения равновесия, где потенциальная энергия колебаний превращается в кинетическую.

1. Переведём амплитуду в СИ: A = 5 см = 0,05 м.
2. В крайнем положении энергия равна ½kA², а в равновесии — ½mvmax². Приравняем их: ½kA² = ½mvmax².
3. Выразим скорость: vmax = A√(k/m) = 0,05√(80/0,2) = 0,05 · 20 = 1 м/с.

Ответ: максимальная скорость равна 1 м/с. Сила тяжести не добавляется в расчёт энергии колебаний относительно положения равновесия: её влияние уже учтено в смещении этого положения.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу периода длину пружины или её растяжение. Так происходит, когда смешивают параметры положения равновесия с параметрами колебаний. В формулу T = 2π√(m/k) входят масса груза и жёсткость пружины, а не её длина. Проверка проста: при неизменных m и k период должен оставаться тем же, даже если положение равновесия изменилось.

Добавляют силу тяжести в формулу периода вертикального маятника. Вес растягивает пружину и тем самым смещает положение равновесия, поэтому его принимают за отдельную возвращающую силу. Но при отсчёте от равновесия постоянная сила тяжести уравновешена, и остаётся зависимость T = 2π√(m/k). Если в ответе появился g, проверьте выбор начала отсчёта.

Принимают размах за амплитуду. Между крайними точками груз проходит расстояние 2A, тогда как амплитуда A — расстояние от равновесия до одной крайней точки. Ошибка обычно возникает, когда измеряют весь ход груза и сразу называют результат амплитудой. Для проверки отметьте равновесие посередине между крайними положениями и возьмите половину расстояния между ними.

Не переводят величины в единицы СИ. Подстановка сантиметров вместо метров или граммов вместо килограммов меняет результат в десятки и сотни раз. Перед вычислением запишите преобразования: 5 см = 0,05 м, 200 г = 0,2 кг, 10 мс = 0,01 с. Затем проверьте, что единицы согласуются с формулой: например, k должно быть в Н/м, а m — в кг.

Связь с другими темами

Чтобы вывести уравнение движения, нужны закон Гука и второй закон Ньютона; для анализа равновесия важно уметь складывать силы. Решение задач на максимальную скорость опирается на работу и сохранение механической энергии. Эти знания позволяют не просто запоминать формулы, а понимать их происхождение.

Модель пружинного маятника служит примером гармонических колебаний — движений, которые математически описываются синусом или косинусом. Её изучение помогает перейти к общему описанию колебаний, сравнить пружинный и математический маятники и понять условия возникновения резонанса. Резонанс важен, когда внешнее воздействие совпадает по частоте с собственными колебаниями системы.

Пружинные модели применяют при анализе вибраций, амортизаторов и других колебательных систем. Их используют, чтобы оценивать, как масса и упругость влияют на скорость колебаний и на передачу вибраций. Реальные устройства сложнее идеальной модели: в них есть трение и потери энергии.

Что запомнить

• Пружинный маятник совершает колебания около положения равновесия.
• Возвращающая сила направлена к положению равновесия и при малых смещениях пропорциональна смещению.
• Период пружинного маятника равен T = 2π√(m/k).
• Период увеличивается с увеличением массы и уменьшается с увеличением жёсткости пружины.
• В вертикальной системе сила тяжести изменяет положение равновесия, но не период малых колебаний.
• Гармонические колебания описываются синусом или косинусом.
• В идеальном пружинном маятнике полная механическая энергия сохраняется.