§ 2. Измерения в физике

Определения и обозначения

Физическая величина — свойство тела или явления, которое можно описать количественно, например длина, масса или время. Её значение записывают числом и единицей измерения. Так можно не только назвать свойство, но и сравнить его с таким же свойством другого тела.

Измерение физической величины — сравнение этой величины с однородной величиной, принятой за единицу. Например, измерить длину — значит выяснить, сколько раз выбранная единица длины укладывается вдоль предмета. Такое сравнение позволяет получать результаты, которые можно проверять и сопоставлять.

Единица физической величины — условно выбранная величина того же рода, с которой сравнивают измеряемую. В записи 12 см число 12 показывает числовое значение, а см указывает единицу — сантиметр. Если убрать единицу, будет непонятен масштаб результата: 12 см и 12 м — разные длины.

Погрешность измерения — характеристика возможного отклонения измеренного значения от истинного. Точное истинное значение обычно неизвестно, потому что прибор и способ отсчёта имеют ограничения. Погрешность показывает, насколько результат можно считать точным, и помогает понять, каким цифрам в записи следует доверять.

Как это устроено

Чтобы измерить величину, сначала выбирают единицу: без неё число не задаёт определённого результата. При сравнении с этой единицей получают числовое значение — например, длина может составлять несколько сантиметров. Поэтому полный результат всегда записывают числом вместе с единицей, а не одним числом.

При прямом измерении значение получают непосредственно с прибора, предназначенного для нужной величины. Сначала подбирают прибор и диапазон так, чтобы ожидаемое значение помещалось на шкале и отсчёт был достаточно точным. Затем определяют цену деления: разность значений двух подписанных отметок делят на число промежутков между ними. После этого считывают показание, располагая глаз напротив отметки, чтобы уменьшить ошибку отсчёта.

Точность измерения ограничена не только прибором. Если деления крупные, шкала не позволяет надёжно различить малые изменения; если смотреть на неё под углом, показание можно отсчитать неверно. На результат также влияют условия опыта, например колебание тела или изменение температуры. Поэтому даже аккуратное измерение даёт приближённое значение.

Абсолютную погрешность прямого измерения обозначают Δx; она показывает возможное отклонение результата в тех же единицах, что и сама величина. Её оценивают с учётом точности прибора и способа отсчёта: для шкального прибора ориентируются на цену деления и правила работы с ним. Результат записывают в виде x = (xизм ± Δx) единиц, например (5,2 ± 0,1) см. Знаки после запятой выбирают так, чтобы запись не обещала большей точности, чем допускает погрешность.

Косвенное измерение используют, когда нужную величину нельзя непосредственно считать с прибора или удобнее вычислить. Сначала прямо измеряют другие величины, а затем подставляют результаты в физическую формулу. Например, площадь прямоугольника находят по длине и ширине, а скорость — по пути и времени. Погрешность результата зависит от погрешностей исходных измерений, поэтому вычисленное значение не становится точнее исходных данных.

Способы измерения и представление результата

Сначала определите, получено ли значение непосредственно с прибора или вычислено по другим измерениям. Затем проверьте, какие единицы использованы и откуда берётся погрешность. Эта таблица помогает выбрать способ обработки результата, а не только назвать вид измерения.

Разбор задач

Линейкой с миллиметровыми делениями измерили длину карандаша. Определите цену деления и запишите результат с указанием единицы. Для примера примем, что край карандаша совпал с отметкой 17,4 см; в реальном опыте нужно подставить своё показание. Здесь измерение прямое: длину считывают со шкалы.

1. Между соседними миллиметровыми отметками один промежуток, поэтому цена деления равна 1 мм, или 0,1 см.
2. Считываем положение конца карандаша: в приведённом примере это 17,4 см.
3. Записываем числовое значение с единицей. Если оцениваем точность по половине деления, ориентировочная погрешность составляет 0,5 мм.

Ответ: цена деления — 1 мм; длина в примере — (17,4 ± 0,05) см. В собственной работе укажите показание, полученное при измерении, а не примерное число из условия.

Измерили пластинку: длина a = (8,0 ± 0,1) см, ширина b = (5,0 ± 0,1) см. Найдём площадь и оценим её погрешность. Стороны измерены прямо, а площадь будет результатом косвенного измерения, так как её вычисляют по формуле S = ab.

1. Вычислим площадь: S = 8,0 см · 5,0 см = 40 см².
2. Для произведения приближённая относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей сторон: ΔS/S ≈ Δa/a + Δb/b.
3. Получаем ΔS/S ≈ 0,1/8,0 + 0,1/5,0 ≈ 0,032. Тогда ΔS ≈ 40 · 0,032 ≈ 1,3 см².

Ответ: S ≈ (40 ± 1) см². Погрешность округлили до одной значащей цифры, а значение площади записали с согласованной точностью.

Шарик равномерно прошёл измеренный участок s = (12,0 ± 0,1) м за время t = (3,0 ± 0,1) с. Найдём скорость и проследим, как точность измерений пути и времени повлияет на ответ. Скорость здесь не считывают с прибора, а рассчитывают по формуле v = s/t.

1. Вычисляем скорость: v = 12,0 м / 3,0 с = 4,0 м/с.
2. Для частного относительная погрешность приближённо равна сумме относительных погрешностей: Δv/v ≈ Δs/s + Δt/t.
3. Подставляем оценки: Δv/v ≈ 0,1/12,0 + 0,1/3,0 ≈ 0,042. Тогда Δv ≈ 4,0 · 0,042 ≈ 0,17 м/с, то есть около 0,2 м/с.

Ответ: v ≈ (4,0 ± 0,2) м/с. Чем больше погрешности пути и времени, тем менее точным будет вычисленное значение скорости.

Типичные ошибки

Записывать результат только числом — значит оставлять неизвестным масштаб измерения. Так делают, когда сосредотачиваются на показании и забывают о единицах. Проверьте запись: у длины должны быть единицы длины, у времени — времени, а у площади — квадратные единицы.

Цена деления — не предел измерения прибора. Первую величину иногда принимают за максимальное значение шкалы, потому что обе связаны с разметкой прибора. Проверьте себя: цена деления относится к двум соседним штрихам, а предел — к наибольшему значению, доступному для измерения.

Показание прибора не является абсолютно точным, даже если шкала выглядит подробной. Ошибку допускают, забывая о конечном размере делений, неточном отсчёте и влиянии условий опыта. Сверьте число знаков с ценой деления и оценкой погрешности: если прибор не различает сотые доли, записывать их без основания нельзя.

Слишком много цифр в результате создают впечатление избыточной точности. Обычно это происходит, когда при вычислениях сохраняют все цифры калькулятора и переносят их в ответ. Округлите погрешность и согласуйте с ней значение величины: лишние знаки не добавляют достоверной информации.

Связь с другими темами

Для работы с измерениями нужно знать единицы длины, времени и массы, а также уметь переводить их, например метры в сантиметры или минуты в секунды. Эти навыки помогают не подставлять в формулу величины, выраженные в несовместимых единицах. В лабораторных работах измеряют прибором, обрабатывают данные и оценивают погрешности. Такой подход понадобится в механике и других разделах физики, где одни величины измеряют прямо, а другие находят по формулам.

Что запомнить

• Результат измерения записывают числом и единицей.
• Измерить величину — значит сравнить её с принятой единицей.
• Цена деления показывает, чему соответствует одно деление шкалы.
• Прямое измерение выполняют прибором, косвенное — вычисляют по формуле.
• Любое измерение имеет погрешность.
• Точность записи результата должна соответствовать точности измерения.