48. Релятивистская масса, энергия, импульс

Определения и обозначения

Релятивистская масса — масса тела, движущегося со скоростью v, равная произведению массы покоя на релятивистский фактор: m = γm₀. Здесь m₀ — масса покоя, а γ = 1/√(1 − v²/c²), где c — скорость света в вакууме. Эта величина показывает, как в выбранном описании учитывается влияние скорости на инерционные свойства тела.

Энергия покоя — энергия, связанная с наличием у тела массы покоя: E₀ = m₀c². Она есть даже тогда, когда тело неподвижно относительно наблюдателя, поэтому нулевая скорость не означает нулевую энергию. Формула позволяет оценить энергию, соответствующую массе.

Релятивистская энергия — полная энергия движущегося тела, включающая энергию покоя и кинетическую энергию. Она вычисляется по формуле E = γm₀c². Это определение нужно, чтобы не смешивать энергию движения с полной энергией тела.

Релятивистский импульс — импульс тела при больших скоростях, вычисляемый с учётом релятивистского фактора: p = γm₀v. При малых скоростях он приближается к классическому импульсу m₀v. Эта формула нужна для описания движения частиц, когда классическое выражение становится недостаточно точным.

Как это устроено

Классические формулы p = mv и Eₖ = mv²/2 хорошо работают, когда скорость тела намного меньше скорости света. При скоростях, сравнимых с c, они перестают согласовываться с законами специальной теории относительности: в частности, классические правила сложения скоростей могли бы допустить результат выше c. Поэтому при описании движения быстрых частиц приходится учитывать релятивистский фактор, а не просто продолжать применять привычные формулы.

Фактор γ = 1/√(1 − v²/c²) зависит от отношения скорости тела к скорости света. При v = 0 он равен единице, а с увеличением v растёт; именно он входит в формулы релятивистской массы m = γm₀, импульса p = γm₀v и полной энергии E = γm₀c². Так скорость одновременно учитывается в разных физических величинах согласованным способом. Если v намного меньше c, γ близок к единице, и релятивистские выражения переходят в привычные классические приближения.

Когда скорость приближается к c, выражение 1 − v²/c² стремится к нулю, поэтому γ и релятивистская масса растут без ограничения. Чтобы продолжать разгон массивного тела, нужно всё больше энергии: полная энергия E = γm₀c² также стремится к бесконечности. Конечный источник энергии не может обеспечить такое увеличение, поэтому тело с ненулевой массой покоя не достигает скорости света. Это не запрет на движение вообще, а следствие того, как энергия зависит от скорости.

Полная энергия включает и энергию покоя, и энергию движения: E = E₀ + Eₖ. Поэтому кинетическую энергию находят вычитанием энергии покоя: Eₖ = E − E₀ = (γ − 1)m₀c². При v = 0 получается γ = 1 и Eₖ = 0, хотя полная энергия остаётся равной E₀. При малых скоростях эта формула приближённо даёт классическое выражение Eₖ ≈ m₀v²/2, но при больших скоростях пользоваться следует релятивистской формулой.

Энергия и импульс связаны общим соотношением E² = p²c² + m₀²c⁴. Оно позволяет находить массу покоя, если известны энергия и импульс: m₀²c⁴ = E² − p²c². Для частицы с нулевой массой покоя, например фотона, остаётся E² = p²c², откуда E = pc. Значит, нулевая масса покоя не означает нулевую энергию или импульс.

Релятивистские масса, энергия и импульс

В таблице предполагается, что тело имеет ненулевую массу покоя, а c обозначает скорость света. При v = 0 сравните полную энергию и энергию покоя: они совпадают, тогда как кинетическая энергия и импульс равны нулю. В пределе v → c величины для массивного тела не достигают конечных значений.

Разбор задач

Электрон со скоростью 0,8c

Нужно найти релятивистскую массу и импульс электрона, если известна его масса покоя m₀. Скорость дана как доля скорости света, поэтому сначала можно определить γ без знания численного значения m₀. Затем этот фактор подставляется в обе формулы; массу покоя оставляем в ответе, если её численное значение не задано.

1. Найдём фактор: γ = 1/√(1 − 0,8²) = 1/√0,36 = 5/3.
2. Релятивистская масса равна m = γm₀ = 5m₀/3 ≈ 1,67m₀.
3. Импульс равен p = γm₀v = (5/3)m₀ · 0,8c = 4m₀c/3.

Ответ: m = 5m₀/3, p = 4m₀c/3. Импульс выражен через массу покоя и скорость света, поскольку конкретное значение m₀ в условии не указано. Такая запись остаётся точной для любого электрона с заданной массой покоя.

Протон со скоростью 0,6c

Требуется определить полную и кинетическую энергию протона, масса покоя которого обозначена m₀. Сначала вычислим фактор γ и найдём полную энергию E = γm₀c². Затем вычтем энергию покоя: так мы отделим энергию движения и не примем полную энергию за кинетическую.

1. Вычислим фактор: γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1/√0,64 = 1,25.
2. Полная энергия протона: E = 1,25m₀c².
3. Энергия покоя равна E₀ = m₀c², поэтому Eₖ = E − E₀ = 0,25m₀c².

Ответ: E = 1,25m₀c², Eₖ = 0,25m₀c². В условии не задано численное значение массы покоя, поэтому результат оставлен в виде формул. Кинетическая энергия меньше полной, поскольку полная энергия содержит ещё и энергию покоя.

Масса покоя по энергии и импульсу

Пусть известны полная энергия E и импульс p частицы. Нужно найти её массу покоя или проверить, может ли это быть фотон. Для этого не требуется знать скорость: достаточно применить общую связь энергии и импульса, а затем сравнить результат с нулём.

1. Запишем соотношение E² = p²c² + m₀²c⁴.
2. Выразим массу покоя: m₀ = √(E² − p²c²)/c², если E² ≥ p²c².
3. Если E = pc, то m₀ = 0 и частица может быть фотоном. Если E > pc, масса покоя положительна, а при E < pc данные несовместимы с этой формулой для частицы.

Ответ: m₀ = √(E² − p²c²)/c²; условие фотона — E = pc. Такая проверка выявляет не только нулевую массу покоя, но и ситуацию, когда исходные данные не соответствуют допустимой частице. Энергия E здесь должна быть полной, а не только кинетической.

Типичные ошибки

Смешение массы покоя и релятивистской массы. Учащийся обозначает обе величины одной буквой m, потому что в классических задачах обычно не приходится различать их. Но в релятивистских формулах это может привести к лишнему множителю γ или к его пропуску. Проверяйте, какая именно масса дана в условии, и записывайте m₀ и m отдельно.

Применение классической формулы Eₖ = mv²/2 при большой скорости. Её часто выбирают по привычке, хотя она является приближением для скоростей намного меньше c. При значительной доле скорости света используйте Eₖ = (γ − 1)m₀c². Для самопроверки убедитесь, что при малых скоростях результат приближается к классическому, а при больших вы рассчитали γ.

Забывают энергию покоя. Из-за слова «энергия» в задаче полную энергию иногда принимают за кинетическую или считают, что у покоящегося тела энергии нет. Однако при v = 0 полная энергия равна E₀ = m₀c², а кинетическая энергия равна нулю. Перед вычислениями уточняйте, спрашивают ли полную энергию или только энергию движения.

Подставляют v = c для массивного тела. Такое действие кажется способом получить значение величины на предельной скорости, но формулы содержат знаменатель √(1 − v²/c²), который обращается в ноль. Для тела с m₀ ≠ 0 при v → c масса, импульс и энергия неограниченно растут, конечного значения при v = c нет. Проверяйте область применимости: массивное тело может двигаться только при v < c.

Связь с другими темами

Для работы с релятивистскими формулами нужны классические понятия импульса и кинетической энергии, представление о массе покоя и знание скорости света. Основа темы — специальная теория относительности и фактор Лоренца, связывающий скорость с энергией и импульсом. Эти результаты используют при изучении фотонов, ядерной физики и ускорителей частиц. Они также раскрывают взаимосвязь массы и энергии, выраженную формулой E₀ = m₀c².

Что запомнить

• Энергия покоя тела равна E₀ = m₀c².
• Релятивистский фактор γ = 1/√(1 − v²/c²) возрастает при увеличении скорости.
• Релятивистский импульс равен p = γm₀v.
• Полная энергия складывается из энергии покоя и кинетической энергии.
• Тело с ненулевой массой покоя не может достичь скорости света.
• Для любой частицы выполняется E² = p²c² + m₀²c⁴.
• Для фотона с нулевой массой покоя справедливо E = pc.