"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Чтобы узнать, где находится тело и как меняется его положение, выбирают систему отсчёта и задают движение подходящим способом. Можно записать координаты тела или его радиус-вектор как функции времени, а можно указать траекторию и закон движения вдоль неё. Эти способы помогают находить положение тела в любой момент и решать задачи о прямолинейном и криволинейном движении. Выбор зависит от того, какие данные задачи удобнее использовать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Траектория — линия, по которой движется тело. Она может быть прямой, окружностью или кривой другой формы. Вид траектории зависит от системы отсчёта: например, движение предмета в салоне автобуса и его движение относительно дороги описываются по-разному. Понятие траектории помогает понять, по какой линии перемещается тело.
Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к точке, где находится тело. Обычно его обозначают буквой r; конец вектора указывает на положение тела, а начало совпадает с началом координат. При движении радиус-вектор меняется со временем. Он нужен, чтобы описывать положение тела и его изменение с помощью векторов.
Уравнение движения — зависимость координаты или радиус-вектора тела от времени. Например, запись x(t) сообщает, какую координату имеет тело в каждый момент t. Подставив в уравнение нужное время, можно определить положение тела. Такое описание удобно для расчётов и позволяет сравнивать положения в разные моменты.
Координатный способ описания движения — задание движения через координаты тела как функции времени в выбранной системе отсчёта. Для движения в пространстве записывают зависимости x(t), y(t) и z(t), а для движения по прямой обычно достаточно одной координаты. Этот способ превращает описание движения в набор уравнений. По ним находят координаты, а при необходимости — и траекторию тела.
Сначала выбирают систему отсчёта: тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы. Это необходимо, потому что слова «движется» и «находится здесь» имеют смысл только относительно чего-либо. Например, пассажир покоится относительно автобуса, но перемещается относительно дороги. Поэтому один и тот же объект может иметь разные координаты и траектории в разных системах отсчёта.
В координатном способе положение задают координатами, а движение — их зависимостями от времени. Если тело движется в пространстве, нужны три координаты, поскольку положение может меняться по трём направлениям. При движении по прямой две координаты можно не указывать: положение достаточно отсчитывать вдоль одной оси. Такой выбор уменьшает число уравнений, не теряя нужной для задачи информации.
Векторный способ описывает положение тела радиус-вектором r(t). Его изменение показывает, как меняется положение относительно начала координат; при этом координаты радиус-вектора равны координатам тела в выбранных осях. Например, в декартовой системе r = (x, y, z). Векторная запись особенно полезна, когда нужно рассматривать движение в нескольких направлениях сразу, а не разбирать каждую координату отдельно.
При естественном описании сначала указывают траекторию, а затем — закон движения вдоль неё. Для этого можно задать расстояние s(t), отсчитанное по траектории от выбранной начальной точки. Такой способ нужен, когда форма пути уже известна, например тело движется по окружности, и требуется узнать, насколько далеко оно прошло вдоль неё. Одного значения s недостаточно, чтобы задать положение без знания самой траектории.
Способ описания выбирают по тому, какие сведения даны и что требуется найти. Координатная запись удобна для вычислений, потому что позволяет подставлять время в уравнения координат. Векторная помогает компактно представлять положение и его изменение, а естественная — описывать путь по заранее известной линии. Все три способа описывают одно движение, но делают акцент на разных его свойствах.
| Способ | Как задают положение тела | Как задают движение | Когда удобен |
|---|---|---|---|
| Координатный | Координатами x, y, z в выбранной системе | Зависимостями координат от времени | Для расчётов и определения координат в заданный момент |
| Векторный | Радиус-вектором из начала координат к телу | Зависимостью радиус-вектора от времени | Для компактного описания положения и его изменения |
| Естественный | Точкой на заданной траектории | Законом движения вдоль траектории, например s(t) | Когда траектория известна и важно движение по ней |
Сначала найдите, какие данные о движении заданы: координаты, радиус-вектор или траектория с расстоянием вдоль неё. Затем выберите соответствующую строку таблицы и запишите, как меняется положение со временем. Если одного способа недостаточно для вычислений, данные можно перевести в другой способ описания.
Тело движется по прямой, и его координата задана формулой x(t) = 2 + 3t. Найдём координату через 4 с. Считаем, что время выражено в секундах, а координата — в метрах; тогда коэффициенты формулы согласованы с этими единицами. Подстановка времени в уравнение движения даёт положение тела именно в указанный момент.
Ответ: координата тела через 4 с равна 14 м.
На плоскости координаты заданы формулами x(t) = 1 + 2t и y(t) = 3 − t. Нужно определить положение при t = 2 с и уравнение траектории. Сначала находим положение подстановкой времени, а затем устраняем t, чтобы получить связь координат, не содержащую времени. Это различает координатное уравнение движения и уравнение траектории.
Ответ: при t = 2 с тело находится в точке (5; 1); уравнение траектории — x + 2y = 7.
Тело движется по окружности радиуса R, а расстояние вдоль траектории задано как s(t) = vt. Опишем движение координатным способом. Для перевода естественного описания в координатное нужно связать пройденную дугу с углом поворота: длина дуги равна Rφ. Выберем начало координат в центре окружности, а начальное положение — на положительном направлении оси x.
Ответ: координатное описание имеет вид x(t) = R cos(vt/R), y(t) = R sin(vt/R). Оно соответствует выбранному начальному положению и отсчёту угла; при другом старте формулы изменятся.
Считать траекторию и путь одним и тем же — ошибка: траектория является линией, а путь представляет собой длину её участка. Их путают, потому что оба понятия связаны с тем, где двигалось тело. Проверка простая: траекторию можно изобразить линией, а путь выражают числом с единицами длины. Например, окружность — траектория, а длина пройденной дуги — путь.
Записывать координаты без указания системы отсчёта недостаточно, поскольку координаты зависят от начала и направления осей. Ошибка возникает, когда координату считают свойством самого тела, не учитывая выбор наблюдателя. Проверьте себя: можно ли по записи понять, где расположено начало координат и куда направлены оси? Если нет, положение задано не полностью.
Путать радиус-вектор с радиусом окружности тоже нельзя. Радиус окружности — постоянная длина от центра до точки окружности, а радиус-вектор задаёт положение тела от начала координат и может изменяться при движении. Их названия похожи, поэтому легко перенести свойства одного на другой. Чтобы проверить различие, уточните, из какой точки начинается вектор и меняются ли его длина или направление.
Уравнение движения не равно уравнению траектории: первое содержит время и показывает положение тела в каждый момент, а второе связывает координаты без времени. Их смешивают, потому что оба описывают одно движение. Проверка: если в записи осталось t, это зависимость положения от времени; чтобы получить траекторию из координатных уравнений, нужно исключить t. Например, из x(t) и y(t) выводят связь между x и y.
Для изучения темы нужны понятия системы отсчёта, координатной оси, координат точки и вектора: без них нельзя однозначно задать положение тела. Выбранные способы описания затем используют при изучении перемещения, скорости и ускорения, поскольку эти величины характеризуют изменение положения. Координатный и векторный подходы применяются как при прямолинейном, так и при криволинейном движении. Поэтому умение записывать положение как функцию времени служит основой для дальнейших задач механики.
Почему положение тела нельзя задать без выбора системы отсчёта?
Положение задают относительно начала координат и осей, связанных с выбранным телом отсчёта. Если изменить систему отсчёта, координаты того же тела могут стать другими.
Чем уравнение движения отличается от уравнения траектории?
Уравнение движения показывает координаты или радиус-вектор тела в зависимости от времени. Чтобы получить уравнение траектории, из координатных уравнений исключают время.
Сколько координат нужно, чтобы описать движение тела?
В пространстве обычно нужны три координаты. Если тело движется по прямой, положение можно задать одной координатой вдоль этой прямой.
Что показывает радиус-вектор?
Радиус-вектор направлен из начала координат к телу и показывает его положение относительно этого начала. При движении радиус-вектор может изменяться и по длине, и по направлению.
Когда удобнее использовать естественный способ описания движения?
Он удобен, если траектория известна и важно описать движение именно вдоль неё. Тогда положение задают расстоянием, отсчитанным по траектории, как функцией времени.
3. Способы описания движения тела
