31 Основная цель молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) — теория, которая объясняет свойства макроскопических тел и явления в них движением и взаимодействием частиц. Макроскопическими называют тела, которые можно наблюдать и измерять целиком, не рассматривая каждую молекулу отдельно. МКТ нужна, чтобы понять, как поведение невидимых частиц приводит к наблюдаемым свойствам вещества.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма. Её обозначают n, а единица измерения в СИ — м⁻³. Эта величина показывает, насколько много частиц находится в данном объёме, и позволяет сравнивать газы, даже если объёмы сосудов различаются.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы — среднее значение энергии, связанной с перемещением молекул в пространстве. Для молекул одинаковой массы её записывают так: ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2, где m₀ — масса одной молекулы, а ⟨v²⟩ — средний квадрат скорости. Усреднение нужно потому, что скорости разных молекул непрерывно меняются и не одинаковы.

Основное уравнение МКТ связывает давление газа с концентрацией молекул и средней кинетической энергией: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩. Оно нужно, чтобы перейти от описания частиц к измеряемому давлению. Подставив выражение для энергии, получаем равносильную запись: p = ⅓ nm₀⟨v²⟩.

Как это устроено

Главная цель МКТ — объяснить свойства вещества через поведение его частиц, потому что именно частицы составляют любое тело. Непосредственно наблюдать движение отдельных молекул обычно нельзя, зато можно измерить давление или температуру вещества. Теория ищет закономерную связь между такими измерениями и движением частиц. Так микроскопическое описание помогает понять макроскопические свойства.

Молекулы газа движутся беспорядочно, поэтому их направления и скорости постоянно меняются. Достигнув стенки сосуда, молекула сталкивается с ней и изменяет свой импульс, то есть передаёт стенке часть воздействия. Одна молекула действует очень слабо, но молекул чрезвычайно много, и удары происходят непрерывно. В результате на стенку действует сила, а сила, приходящаяся на единицу площади, и есть давление.

Давление зависит от концентрации, потому что при большем числе молекул в единице объёма стенки получают больше ударов за то же время. Оно зависит и от средней кинетической энергии: более энергичные молекулы в среднем движутся быстрее и сильнее меняют импульс при столкновениях со стенкой. Поэтому при прочих равных увеличение концентрации или энергии усиливает воздействие газа на стенки. Эта зависимость выражается формулой p = ⅔ n⟨Eₖ⟩.

В газе движется огромное число молекул, и проследить путь каждой из них невозможно и не требуется. Отдельная молекула в данный момент может двигаться с любой скоростью, но для всего газа важна закономерность поведения множества частиц. Поэтому используют средние значения, например среднюю кинетическую энергию или средний квадрат скорости. Такой переход от единичного случая к средним величинам позволяет описывать газ в целом.

Основное уравнение МКТ соединяет измеряемую макроскопическую величину p с микроскопическими характеристиками n и ⟨Eₖ⟩. Оно показывает, как состояние множества молекул выражается через давление, и тем самым помогает решать главную задачу теории. Если известны давление и концентрация, можно найти среднюю кинетическую энергию, а если известны характеристики движения — рассчитать давление. Это не описание траектории каждой частицы, а связь между общими свойствами газа и усреднённым движением молекул.

Связь характеристик газа с движением его молекул

В таблице собраны две взаимосвязанные формы основного уравнения МКТ и выражение для средней энергии. Сначала выбери строку с известными и искомыми величинами, затем подставь данные в соответствующую формулу. Если величины записаны в СИ, давление получится в паскалях.

Разбор задач

Задача 1. В сосуде находится газ с концентрацией 2,0·10²⁵ м⁻³. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна 6,0·10⁻²¹ Дж. Найдём давление газа. Здесь известны n и ⟨Eₖ⟩, поэтому удобно взять основное уравнение МКТ в форме p = ⅔ n⟨Eₖ⟩.

1. Запишем формулу: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩.
2. Подставим данные: p = ⅔ · 2,0·10²⁵ · 6,0·10⁻²¹.
3. Сначала перемножим концентрацию и энергию: 2,0·6,0·10⁴ = 1,2·10⁵. Тогда p = ⅔ · 1,2·10⁵ = 8,0·10⁴ Па.

Единицы согласуются: м⁻³·Дж = м⁻³·Н·м = Н/м², то есть паскаль. Ответ: p = 8,0·10⁴ Па. Значение соответствует давлению, создаваемому совместными ударами молекул, а не одной молекулой.

Задача 2. Концентрация молекул постоянна, а средняя кинетическая энергия увеличилась в 1,5 раза. Требуется определить, как изменится давление. При неизменном n из уравнения p = ⅔ n⟨Eₖ⟩ следует прямая пропорциональность давления средней кинетической энергии. Значит, численное значение энергии достаточно умножить на коэффициент изменения.

1. Обозначим начальные величины p₁ и ⟨Eₖ⟩₁, а конечные — p₂ и ⟨Eₖ⟩₂.
2. Запишем отношение: p₂/p₁ = ⟨Eₖ⟩₂/⟨Eₖ⟩₁, поскольку концентрация в обоих состояниях одна и та же.
3. Подставим условие: p₂/p₁ = 1,5, следовательно, p₂ = 1,5p₁.

Давление увеличится в 1,5 раза, или на 50% от первоначального значения. Новое давление нельзя назвать конкретным числом без начального давления. Ответ: давление возрастёт в 1,5 раза.

Задача 3. Давление газа равно 1,0·10⁵ Па, концентрация молекул — 2,4·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы — 4,8·10⁻²⁶ кг. Найдём средний квадрат скорости. Используем запись p = ⅓ nm₀⟨v²⟩, потому что в условии даны масса молекулы и давление.

1. Выразим искомую величину: ⟨v²⟩ = 3p/(nm₀).
2. Подставим значения: ⟨v²⟩ = 3·1,0·10⁵/(2,4·10²⁵·4,8·10⁻²⁶). Знаменатель равен 1,152.
3. Вычислим: ⟨v²⟩ ≈ 3·10⁵/1,152 ≈ 2,6·10⁵ м²/с².

Единица результата — м²/с², поскольку средний квадрат скорости является усреднённой величиной v². Это не средняя скорость молекул: для получения скорости нужно было бы извлечь квадратный корень из величины, но такой результат здесь не требуется. Ответ: ⟨v²⟩ ≈ 2,6·10⁵ м²/с².

Типичные ошибки

Считать давление свойством отдельной молекулы — неверно: давление возникает из совокупного действия множества ударов о стенки. Ошибка появляется, когда микроскопическую картину принимают за описание одной частицы, забывая о всех остальных. Проверь себя: в формуле давления присутствует концентрация и усреднённая характеристика газа, а не параметры единственной молекулы.

Подставлять среднюю скорость вместо среднего квадрата скорости нельзя, потому что в формуле p = ⅓ nm₀⟨v²⟩ участвует именно ⟨v²⟩. Часто эти величины путают из-за похожих обозначений, но средний квадрат скорости и квадрат средней скорости в общем случае не равны. Перед вычислением проверь, что возведены в квадрат скорости молекул, а затем найдено их среднее.

Концентрация — не общее число молекул в сосуде, а число частиц в единице объёма. Путаница возникает потому, что обе характеристики связаны с количеством молекул. Для проверки сопоставь величину с единицами: концентрация измеряется в м⁻³, а число частиц само по себе не имеет единицы измерения.

При переходе между формами основного уравнения легко потерять множитель ⅔ или ⅓. Первый относится к записи через среднюю кинетическую энергию, второй — к записи через средний квадрат скорости. Ошибка возникает при поспешном преобразовании или забытом множителе ½ в формуле энергии. Проверь переход: подстановка ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2 в p = ⅔ n⟨Eₖ⟩ должна дать p = ⅓ nm₀⟨v²⟩.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны основные положения МКТ, представление о массе молекулы и количестве вещества, а также понимание давления как силы на единицу площади. Связь средней кинетической энергии молекул с температурой понадобится при изучении уравнения состояния идеального газа. Идея хаотического движения частиц и использование средних величин помогают объяснять тепловые явления. Поэтому уравнение МКТ служит мостом между механическим движением молекул и свойствами газа.

Что запомнить

• МКТ объясняет макроскопические свойства вещества через движение и взаимодействие частиц.
• Давление газа обусловлено ударами молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна числу частиц в единице объёма.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна m₀⟨v²⟩/2.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩.
• Эквивалентная запись уравнения: p = ⅓ nm₀⟨v²⟩.