58. Электрическая ёмкость. Конденсаторы

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость — физическая величина, равная отношению заряда одной обкладки конденсатора к напряжению между обкладками: C = q/U. Здесь C обозначает ёмкость, q — заряд обкладки, U — напряжение. По этой формуле можно узнать, какой заряд соответствует заданному напряжению.

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых диэлектриком, предназначенная для накопления электрического заряда и энергии. Проводники называют обкладками, а диэлектрик — изолирующим веществом между ними. Такая система позволяет разделить заряды и использовать возникающее электрическое поле.

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин, площадь которых значительно больше расстояния между ними. Благодаря этому поле между центральными участками пластин можно считать почти однородным. Такая модель помогает просто рассчитывать ёмкость.

Фарад — единица электрической ёмкости: 1 Ф = 1 Кл/В. Один фарад соответствует конденсатору, у которого заряд одной обкладки в один кулон создаёт напряжение один вольт. На практике часто используют меньшие единицы: микрофарад, нанофарад и пикофарад.

Как это устроено

Для накопления заряда используют два проводника, потому что заряд нельзя создать из ничего: при зарядке электроны переходят с одной обкладки на другую. На одной обкладке возникает избыток электронов, а на другой — такой же по модулю недостаток. Поэтому заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку, а суммарный заряд системы остаётся равным нулю.

Разноимённые заряды притягиваются, но не соединяются напрямую, поскольку между проводниками расположен диэлектрик — материал, который плохо проводит электрический ток. Заряды создают электрическое поле, направленное от положительной обкладки к отрицательной. Для разделения зарядов требуется работа, поэтому между обкладками возникает напряжение, то есть разность электрических потенциалов.

Если при одной и той же конструкции изменить заряд, напряжение изменится вместе с ним. Поэтому отношение q/U остаётся постоянным: именно его называют ёмкостью. На это отношение влияют размеры и форма проводников, расстояние между ними и материал диэлектрика, но не отдельные значения заряда и напряжения. Это объясняет, почему ёмкость характеризует сам конденсатор, а не то, насколько сильно он заряжен в данный момент.

Ёмкость плоского конденсатора рассчитывают по формуле C = εε₀S/d. Здесь S — площадь каждой пластины, d — расстояние между ними, ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Чем больше площадь пластин, тем больше заряд может разместиться при том же напряжении; чем меньше расстояние, тем сильнее взаимодействуют обкладки. Поэтому C растёт с увеличением S и уменьшается с увеличением d.

Диэлектрик между обкладками поляризуется: связанные заряды в его молекулах немного смещаются и создают поле, направленное против поля конденсатора. При том же заряде это ослабляет результирующее поле и снижает напряжение, а значит, отношение q/U становится больше. В результате ёмкость увеличивается в ε раз по сравнению с вакуумом. При зарядке конденсатора совершается работа, которая сохраняется в электрическом поле и может затем передаваться другим элементам цепи.

Основные величины и характеристики конденсатора

Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти, затем выберите подходящую формулу из таблицы. В задачах на плоский конденсатор площадь и расстояние подставляют в единицах СИ, а диэлектрическую проницаемость указывают без единиц. Заряд и напряжение относятся к одной обкладке и паре обкладок соответственно.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатору сообщили заряд 6 мкКл, а напряжение между его обкладками стало 3 В. Найдите ёмкость. Нужно применить определение C = q/U и сначала выразить заряд в кулонах. Поскольку 1 мкКл = 10⁻⁶ Кл, заряд равен 6 · 10⁻⁶ Кл.

1. Запишем формулу ёмкости: C = q/U.
2. Подставим известные величины: C = (6 · 10⁻⁶ Кл)/(3 В).
3. Разделим числовые значения и единицы: C = 2 · 10⁻⁶ Кл/В = 2 · 10⁻⁶ Ф.

Ответ: 2 мкФ. Проверка единиц показывает, что Кл/В действительно соответствует фараду.

Задача 2. Ёмкость плоского конденсатора равна 2 нФ. Площадь пластин увеличили в 3 раза, а расстояние между ними уменьшили в 2 раза. Требуется найти новую ёмкость. Из формулы C = εε₀S/d видно, что при неизменном диэлектрике ёмкость прямо пропорциональна площади и обратно пропорциональна расстоянию.

1. Увеличение площади в 3 раза умножает ёмкость на 3.
2. Уменьшение расстояния в 2 раза ещё раз увеличивает ёмкость в 2 раза, так как d находится в знаменателе.
3. Общий множитель равен 3 · 2 = 6, поэтому C₂ = 6C₁ = 6 · 2 нФ = 12 нФ.

Ответ: ёмкость станет равна 12 нФ, то есть увеличится в шесть раз. Изменения площади и расстояния нужно учитывать независимо, а затем перемножить их коэффициенты.

Задача 3. Плоский конденсатор с заданными площадью пластин и расстоянием между ними заполнили диэлектриком с известной относительной диэлектрической проницаемостью. Требуется найти ёмкость и заряд при заданном напряжении. Числовые значения в условии не указаны, поэтому решение записывается через обозначения: площадь S, расстояние d, проницаемость ε и напряжение U.

1. Переведём площадь в квадратные метры, а расстояние — в метры, если исходные данные заданы в других единицах.
2. Рассчитаем ёмкость с учётом диэлектрика: C = εε₀S/d.
3. Найдём заряд одной обкладки по формуле q = CU, то есть q = (εε₀S/d)U.

Ответ: C = εε₀S/d, q = CU. Сначала учитывают влияние материала на ёмкость, а затем используют найденную ёмкость и заданное напряжение для расчёта заряда.

Типичные ошибки

Заряд одной обкладки иногда принимают за суммарный заряд конденсатора. Причина — забывают, что на второй обкладке есть равный по модулю заряд противоположного знака, поэтому общий заряд двух обкладок равен нулю. Проверяйте, какой заряд подставляете в C = q/U: это заряд одной обкладки, а не сумма зарядов.

Другая ошибка — считать, что ёмкость обязательно возрастает вместе с зарядом. Такое впечатление возникает из формулы C = q/U, если учитывать только q и забывать, что при неизменной конструкции вместе с зарядом пропорционально меняется напряжение. Для проверки выясните, изменились ли геометрия конденсатора или диэлектрик: если нет, его ёмкость не изменилась.

В формулу плоского конденсатора иногда подставляют расстояние в сантиметрах или площадь в квадратных сантиметрах. Это происходит, когда не проверяют единицы исходных данных; результат тогда получается неверным по величине. Перед расчётом переведите d в метры, S — в квадратные метры, а после вычисления проверьте, что единицей C получился фарад.

При наличии диэлектрика могут использовать формулу для вакуума C = ε₀S/d и забыть множитель ε. Ошибка возникает, если материал между пластинами не учтён в записи данных. Сверьте условие с формулой: для диэлектрика нужно умножить ёмкость на его относительную проницаемость ε.

Связь с другими темами

Для изучения ёмкости нужны понятия электрического заряда, напряжения и электрического поля: заряд создаёт поле, а напряжение характеризует разность потенциалов между обкладками. Также важно знать, что диэлектрик изолирует проводники и поляризуется в электрическом поле. Эти знания помогают понять, откуда берётся формула ёмкости и почему материал между пластинами влияет на неё.

Свойства конденсаторов понадобятся при изучении их соединения и процессов в электрических цепях. Например, формулы ёмкости позволяют анализировать, как при изменении схемы меняются заряд и напряжение. Накопленная энергия объясняет, почему конденсатор может влиять на работу цепи даже после отключения источника.

Что запомнить

• Ёмкость конденсатора C = q/U.
• Единица ёмкости в СИ — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку.
• Ёмкость зависит от геометрии проводников и диэлектрика между ними.
• Для плоского конденсатора C = εε₀S/d.
• При неизменном напряжении заряд конденсатора равен q = CU.