60. Соединения конденсаторов

Определения и обозначения

Последовательное соединение — это соединение, при котором конденсаторы стоят один за другим в одной ветви цепи. Между соседними конденсаторами нет узла с разветвлением: заряд не может уйти по другому пути. По тому же признаку определяют, можно ли применить правила последовательного соединения.

Параллельное соединение — это соединение, при котором выводы каждого конденсатора подключены к одной и той же паре узлов. Узел — точка соединения проводников, между которыми нет других элементов цепи. Такое определение помогает увидеть, что напряжение на всех параллельных конденсаторах одинаково.

Батарея конденсаторов — несколько соединённых между собой конденсаторов, рассматриваемых как единая часть цепи. Её можно заменить одним конденсатором, если для внешней цепи сохраняются те же электрические свойства. Это позволяет упростить расчёты сложных цепей.

Общая электроёмкость Cобщ — ёмкость такого эквивалентного конденсатора. Для всей батареи она определяется общим зарядом q и напряжением U соотношением q = CобщU. По этой величине сравнивают батарею с отдельным конденсатором и рассчитывают её действие в цепи.

Как это устроено

В последовательной цепочке обкладки соседних конденсаторов соединены проводником, образуя изолированный узел. В него не поступает заряд от внешней цепи, поэтому заряд на соединённых обкладках остаётся равным нулю в сумме: если на одной обкладке появился заряд +q, на другой возникает −q. Следовательно, модули зарядов всех конденсаторов в цепочке одинаковы.

Общее напряжение последовательной батареи равно сумме напряжений на каждом конденсаторе: U = U₁ + U₂ + … . Для отдельного конденсатора q = CᵢUᵢ, значит, Uᵢ = q/Cᵢ. Подставляя это в сумму напряжений и используя равенство зарядов, получаем q/Cобщ = q/C₁ + q/C₂ + … . После сокращения на общий заряд выходит формула 1/Cобщ = 1/C₁ + 1/C₂ + … .

При параллельном соединении оба вывода каждого конденсатора подключены к тем же двум узлам, что и выводы остальных. Разность потенциалов между этими узлами одна и та же, поэтому U₁ = U₂ = … = U. Это объясняет, почему при параллельном соединении одинаково напряжение, а не обязательно заряд.

Источник заряжает все параллельные конденсаторы, и общий заряд батареи равен сумме зарядов на них: q = q₁ + q₂ + … . Подставим qᵢ = CᵢU, а для всей батареи — q = CобщU. Тогда CобщU = C₁U + C₂U + …; сокращение на общее напряжение даёт Cобщ = C₁ + C₂ + … .

Для последовательной батареи сумма обратных ёмкостей больше любой отдельной обратной ёмкости, поэтому Cобщ меньше каждой из них. При параллельном соединении ёмкости складываются, и результат больше каждой отдельной ёмкости. Это полезная проверка: если расчёт даёт противоположное сравнение, вероятно, выбран не тот тип соединения или допущена ошибка в вычислениях.

Свойства последовательного и параллельного соединений конденсаторов

Сначала определите, какие величины одинаковы в рассматриваемом соединении, а затем выберите соответствующую формулу. Для последовательной цепочки проверяйте сумму напряжений, для параллельной — сумму зарядов. Последняя строка таблицы помогает быстро оценить, правдоподобен ли ответ.

Разбор задач

Задача 1. Два конденсатора ёмкостью 2 мкФ и 3 мкФ соединены параллельно. Найдите общую электроёмкость. Поскольку конденсаторы подключены к одной паре узлов, используем правило сложения ёмкостей. Результат должен быть больше обеих исходных ёмкостей.

1. Запишем формулу для параллельного соединения: Cобщ = C₁ + C₂.
2. Подставим значения: Cобщ = 2 мкФ + 3 мкФ = 5 мкФ.
3. Проверим результат: 5 мкФ больше и 2 мкФ, и 3 мкФ, как и должно быть.

Ответ: 5 мкФ.

Задача 2. Конденсаторы ёмкостью 6 мкФ и 3 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику напряжением 12 В. Найдите общую ёмкость, заряд батареи и напряжение на каждом конденсаторе. Сначала найдём эквивалентную ёмкость, затем общий заряд; при последовательном соединении этот заряд по модулю одинаков для обоих конденсаторов.

1. Для двух конденсаторов 1/Cобщ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6, поэтому Cобщ = 2 мкФ.
2. Найдём заряд батареи: q = CобщU = 2 мкФ · 12 В = 24 мкКл. Значит, заряд каждого конденсатора по модулю равен 24 мкКл.
3. Напряжения равны U₁ = q/C₁ = 24/6 = 4 В и U₂ = q/C₂ = 24/3 = 8 В. Их сумма 12 В совпадает с напряжением источника.

Ответ: Cобщ = 2 мкФ, q = 24 мкКл; на конденсаторах 6 мкФ и 3 мкФ напряжения равны 4 В и 8 В соответственно.

Задача 3. Конденсаторы ёмкостью 2 мкФ и 3 мкФ соединены параллельно, а их батарея — последовательно с конденсатором 6 мкФ. Напряжение источника равно 12 В. Найдите общую ёмкость и заряд батареи. Сначала упростим параллельный участок, а затем рассмотрим последовательное соединение двух эквивалентных ёмкостей.

1. Для параллельного участка Cп = 2 + 3 = 5 мкФ.
2. Теперь 5 мкФ и 6 мкФ соединены последовательно: 1/Cобщ = 1/5 + 1/6 = 11/30, откуда Cобщ = 30/11 мкФ ≈ 2,73 мкФ.
3. Заряд батареи найдём по её общей ёмкости: q = CобщU = (30/11 мкФ) · 12 В = 360/11 мкКл ≈ 32,7 мкКл.

Ответ: Cобщ = 30/11 мкФ ≈ 2,73 мкФ; q = 360/11 мкКл ≈ 32,7 мкКл.

Типичные ошибки

При последовательном соединении иногда складывают сами ёмкости, по аналогии с параллельным. Здесь складываются обратные величины: 1/Cобщ = 1/C₁ + 1/C₂ + … . Проверьте ответ сравнением: общая ёмкость должна быть меньше ёмкости каждого конденсатора.

Другая ошибка — считать напряжения на последовательно соединённых конденсаторах одинаковыми. Одинаковы модули их зарядов, а напряжение определяется также ёмкостью по формуле Uᵢ = q/Cᵢ. Проверьте себя: напряжения должны в сумме дать напряжение источника, и на меньшей ёмкости при том же заряде напряжение больше.

При параллельном соединении порой полагают равными заряды. Но общими для всех конденсаторов здесь являются узлы подключения и напряжение, а заряд каждого равен qᵢ = CᵢU. Проверка простая: при одинаковом напряжении конденсатор большей ёмкости получает больший заряд.

В смешанной цепи ошибочно применять одну формулу ко всем конденсаторам сразу или путать общую ёмкость батареи с ёмкостью отдельного элемента. Сначала выделите участки, соединённые последовательно или параллельно, и заменяйте их эквивалентными конденсаторами поэтапно. После каждого шага проверьте, сохранился ли тип соединения оставшихся элементов.

Связь с другими темами

Для расчётов нужно знать электроёмкость конденсатора и формулу q = CU: она связывает заряд, ёмкость и напряжение. Понадобятся также понятия электрического заряда, напряжения, электрической цепи и её узлов, чтобы различать виды соединений. Эти правила применяют при расчёте цепей и накопителей энергии; они пригодятся при изучении батарей конденсаторов в следующих темах физики.

Что запомнить

• При последовательном соединении модули зарядов конденсаторов одинаковы.
• Напряжение последовательной батареи равно сумме напряжений на её конденсаторах.
• Для последовательного соединения 1/Cобщ = 1/C₁ + 1/C₂ + … .
• При параллельном соединении напряжение на всех конденсаторах одинаково.
• Заряды при параллельном соединении складываются.
• Для параллельного соединения Cобщ = C₁ + C₂ + … .