3. Гармонические колебания

Определения и обозначения

Гармоническое колебание — колебание, при котором величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Для координаты это записывают так: x(t) = A cos(ωt + φ₀). Такая запись позволяет по времени находить положение тела и описывать повторяющееся движение одной формулой.

Амплитуда колебаний A — наибольшее по модулю отклонение от положения равновесия, поэтому A ≥ 0. Координата при этом изменяется от −A до A. Амплитуда показывает размер колебаний и равна половине расстояния между крайними положениями.

Период колебаний T — время одного полного колебания. Через этот промежуток система возвращается в то же состояние: имеет прежние координату и скорость. Период нужен, чтобы измерять длительность повторения движения.

Фаза колебаний — аргумент синуса или косинуса, например ωt + φ₀. Она определяет текущее состояние колебательной системы. Начальная фаза φ₀ показывает, с какой точки цикла начинается отсчёт при t = 0.

Как это устроено

Периодическое движение можно представить графиком координаты, откладывая время по горизонтальной оси. Если точки графика образуют плавную синусоиду или косинусоиду, координата меняется гармонически: после подъёма следует спад, а затем картина повторяется. Такое движение называют гармоническим потому, что его закон выражается простейшими гармоническими функциями — синусом или косинусом.

Частота ν = 1/T показывает, сколько полных колебаний происходит за единицу времени. Циклическая частота ω = 2πν = 2π/T показывает скорость изменения фазы в радианах за секунду. За время T фаза увеличивается на 2π, поэтому множитель 2π нельзя заменить единицей.

Амплитуда A определяет вертикальный размах графика координаты: чем она больше, тем дальше график от нулевого уровня. Начальная фаза φ₀ задаёт значение графика в момент t = 0 и тем самым начальное состояние системы. При одной и той же амплитуде изменение φ₀ сдвигает график вдоль оси времени, не меняя его размаха и периода.

Продифференцируем x(t) = A cos(ωt + φ₀): v(t) = −Aω sin(ωt + φ₀), а затем a(t) = −Aω² cos(ωt + φ₀). Скорость сдвинута по фазе на четверть периода относительно координаты, поэтому её максимум не совпадает с максимумом x. Из последней формулы следует a = −ω²x: ускорение направлено противоположно отклонению.

В крайнем положении координата по модулю равна A, скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю. При прохождении равновесия x = 0 и a = 0, зато скорость максимальна. Это отражает обмен энергией: в крайних положениях преобладает потенциальная энергия, а в равновесии она переходит в кинетическую.

Координата, скорость и ускорение при гармонических колебаниях

В таблице знак ± означает, что величина может быть положительной или отрицательной в зависимости от направления движения. Для максимальных значений указаны модули, то есть только размеры величин без направления. Сначала определите положение тела, а затем по соответствующей строке находите скорость и ускорение.

Разбор задач

Задача 1

Условие: тело совершает гармонические колебания с периодом 0,8 с. Найти частоту и циклическую частоту.

1. Частота обратно пропорциональна периоду: ν = 1/T = 1/0,8 = 1,25 Гц.
2. Циклическая частота связана с частотой формулой ω = 2πν. Подставляем найденное значение: ω = 2π · 1,25 = 2,5π рад/с ≈ 7,85 рад/с.

Ответ: ν = 1,25 Гц, ω = 2,5π рад/с ≈ 7,85 рад/с.

Задача 2

Условие: координата тела изменяется по закону x(t) = 0,06 cos(5t). Определить амплитуду, циклическую частоту, период и начальную фазу.

1. Сравним закон с общей формой x(t) = A cos(ωt + φ₀). Коэффициент перед косинусом даёт A = 0,06 м, а коэффициент при t даёт ω = 5 рад/с.
2. В записи нет постоянного слагаемого внутри косинуса, значит φ₀ = 0.
3. Период найдём из ω = 2π/T: T = 2π/ω = 2π/5 ≈ 1,26 с.

Ответ: A = 0,06 м, ω = 5 рад/с, T = 2π/5 с ≈ 1,26 с, φ₀ = 0.

Задача 3

Условие: x(t) = 0,10 cos(4πt + π/3). Найти координату, скорость и ускорение при t = 1/6 с и выяснить, проходит ли тело через равновесие.

1. Сначала вычислим фазу: φ = 4π · 1/6 + π/3 = 2π/3 + π/3 = π.
2. Координата x = 0,10 cos π = −0,10 м. Скорость v = −Aω sin φ = −0,10 · 4π · sin π = 0.
3. Ускорение можно найти по формуле a = −ω²x: a = −(4π)² · (−0,10) = 1,6π² м/с² ≈ 15,8 м/с².

Ответ: x = −0,10 м, v = 0, a = 1,6π² м/с² ≈ 15,8 м/с². Тело не проходит равновесие: оно находится в крайнем положении.

Типичные ошибки

Полный размах принимают за амплитуду. Между крайними точками расстояние равно 2A, а амплитуда — только расстояние от равновесия до одной крайней точки. Проверьте себя: если крайние координаты −0,4 м и 0,4 м, то A = 0,4 м.

Путают частоту и период. Период измеряют в секундах и считают временем одного цикла, а частоту — в герцах и считают числом циклов за секунду. Быстрая проверка: эти величины взаимно обратны, νT = 1.

Пишут ω = 1/T. Такая формула относится к частоте, а для циклической частоты нужна запись ω = 2π/T. Множитель 2π появляется потому, что за один период фаза проходит полный круг.

Считают ускорение максимальным в равновесии. Из a = −ω²x видно, что при x = 0 ускорение равно нулю. Его модуль максимален в крайних положениях, где отклонение максимально.

Связь с другими темами

До изучения гармонических колебаний нужны понятия периодического движения, координаты, скорости и ускорения, а также умение читать графики. Связь a = −ω²x объясняет движение груза на пружине и приближённое движение математического маятника. Период, частота и фаза далее используются при описании звуковых и электромагнитных волн.

Что запомнить

• Гармоническое колебание описывается синусом или косинусом времени.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Частота и период связаны формулой ν = 1/T.
• Циклическая частота связана с периодом формулой ω = 2π/T.
• Ускорение при гармонических колебаниях связано с координатой равенством a = −ω²x.
• В положении равновесия скорость по модулю максимальна, а ускорение равно нулю.