1. Первое условие равновесия

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно относительно выбранной системы отсчёта. В обоих случаях его скорость не меняется, значит, ускорение равно нулю. Это определение помогает не сводить равновесие только к неподвижности.

Равнодействующая сил — векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Её обозначают как сумму векторов сил; направление и модуль результата зависят от направлений всех слагаемых. Равнодействующая показывает общее действие сил и позволяет заменить их одной силой при анализе поступательного движения.

Первое условие равновесия — векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: ΣF⃗ = 0. Это значит, что силы взаимно компенсируются и не сообщают телу ускорение. Условие удобно применять, когда нужно найти неизвестную силу или проверить, может ли тело двигаться без изменения скорости.

Проекция силы — составляющая вектора силы вдоль выбранной оси координат. Силу можно представить как набор таких составляющих, направленных вдоль осей. Проекции позволяют заменить векторное равенство несколькими обычными равенствами и отдельно учитывать баланс сил в каждом направлении.

Как это устроено

Связь равновесия с первым законом Ньютона начинается с того, что закон описывает движение тела при отсутствии результирующего действия сил. Если тело покоится или движется с постоянной скоростью по прямой, его скорость не меняется. Поэтому ускорение равно нулю, а наблюдаемое равновесие относится не только к покою, но и к равномерному прямолинейному движению.

Второй закон Ньютона записывается для равнодействующей: ΣF⃗ = ma⃗. Если ускорение тела равно нулю, правая часть становится нулевой, следовательно, ΣF⃗ = 0. Обратное также верно в инерциальной системе отсчёта: нулевая сумма сил означает нулевое ускорение. Поэтому первое условие равновесия — не отдельное правило, а следствие второго закона Ньютона.

Силы можно изобразить стрелками, последовательно откладывая конец каждой следующей стрелки от начала предыдущей. Если равнодействующая равна нулю, конец последней стрелки возвращается к началу первой, и получается замкнутый многоугольник сил. Такая картинка помогает проверить направления и понять, почему силы уравновешивают друг друга. Если многоугольник не замкнулся, его незамкнутая сторона показывает ненулевую равнодействующую.

В плоской задаче нулевой вектор означает, что отдельно равны нулю составляющие вдоль двух взаимно перпендикулярных осей: ΣFₓ = 0 и ΣFᵧ = 0. Это возможно потому, что вектор с нулевыми проекциями на обе оси сам равен нулю. Сначала выбирают оси, затем задают положительные направления и определяют знаки проекций каждой силы. Удобно направлять оси вдоль движения или поверхности, если это уменьшает число неизвестных составляющих.

Для равновесия под действием только двух сил их векторная сумма должна быть нулевой. Это возможно лишь тогда, когда силы равны по модулю, направлены противоположно и лежат на одной прямой: иначе останется ненулевая составляющая. Например, для груза на вертикальной нити сила тяжести направлена вниз, а натяжение — вверх. При равновесии их модули одинаковы, но направления противоположны.

Первое условие равновесия и способы его применения

Сначала определите, какие силы действуют на тело, и выберите удобные оси. Затем запишите векторное условие или два равенства для проекций и проверьте знаки. Таблица помогает выбрать форму записи, но не заменяет рисунок сил и проверку их направлений.

Разбор задач

Груз на вертикальной нити

Условие. Груз массой 2 кг висит неподвижно на вертикальной нити. Нужно определить силу натяжения нити. На груз действуют сила тяжести вниз и сила натяжения вверх.

1. Выберем вертикальную ось Oy, направленную вверх. Поскольку груз неподвижен, сумма проекций сил на эту ось равна нулю.
2. Запишем проекции: T − mg = 0, откуда T = mg. Подставим m = 2 кг и g ≈ 9,8 Н/кг: T = 2 · 9,8 = 19,6 Н.

Ответ: сила натяжения равна 19,6 Н, или примерно 20 Н при округлении. Направление натяжения противоположно силе тяжести, поэтому их модули равны.

Знак на двух верёвках

Условие. Знак удерживают две вертикальные верёвки, его вес равен 120 Н, а натяжение одной верёвки — 50 Н. Требуется найти натяжение второй верёвки. Знак неподвижен, поэтому сумма вертикальных сил должна быть нулевой.

1. Направим ось вверх. Обозначим натяжение второй верёвки T₂; обе силы натяжения направлены вверх, а вес — вниз.
2. Запишем равновесие: 50 Н + T₂ − 120 Н = 0. Отсюда T₂ = 120 Н − 50 Н = 70 Н.

Ответ: натяжение второй верёвки равно 70 Н. Проверка проста: вверх действуют силы общей величиной 120 Н, и они уравновешивают вес 120 Н.

Тело на наклонной плоскости

Условие. Тело массой 5 кг удерживают на гладкой плоскости под углом 30° к горизонту силой, направленной вверх вдоль плоскости. Нужно найти эту силу и реакцию опоры. Гладкая поверхность не создаёт силы трения, поэтому учитываем тяжесть, реакцию опоры и удерживающую силу.

1. Выберем ось Ox вдоль плоскости вверх, а Oy — перпендикулярно ей наружу. Силу тяжести разложим на составляющие: вдоль плоскости вниз действует mg sin 30°, а к плоскости — mg cos 30°.
2. По оси Ox равновесие даёт F − mg sin 30° = 0. При g ≈ 9,8 Н/кг получаем F = 5 · 9,8 · 0,5 = 24,5 Н.
3. По оси Oy имеем N − mg cos 30° = 0. Поэтому N = 5 · 9,8 · cos 30° ≈ 42,4 Н.

Ответ: удерживающая сила равна 24,5 Н, реакция опоры — примерно 42,4 Н. Компонента тяжести вдоль плоскости стремится сдвинуть тело вниз, а нормальная составляющая прижимает его к опоре.

Типичные ошибки

Складывать только модули сил — значит игнорировать их направления. Так можно получить неверный результат, особенно если силы направлены противоположно или под углом; ошибку допускают, перенося на векторы правила сложения обычных чисел. Нарисуйте силы стрелками или разложите их по осям и проверьте, какие проекции имеют разные знаки.

Считать, что равновесие обязательно означает покой, — неверно: тело может двигаться равномерно и прямолинейно. Такая ошибка возникает из бытового употребления слова «равновесие», где обычно подразумевают неподвижность. Проверьте, меняется ли скорость тела: если она постоянна, ускорение равно нулю и равновесие возможно.

Нельзя называть равнодействующей одну из сил, действующих на тело. Равнодействующая — это векторная сумма всех сил, поэтому её величина и направление могут отличаться от каждой из них. Чтобы проверить себя, перечислите все силы на схеме и сложите их как векторы, а не выбирайте одну «главную» силу.

Неверный знак проекции обычно появляется, когда оси выбраны, но их положительные направления не указаны. Тогда легко перепутать, какие силы направлены по оси, а какие против неё. Сначала нарисуйте оси, после чего определите знак каждой проекции: по положительному направлению — плюс, против него — минус.

Связь с другими темами

Для применения первого условия равновесия нужны первый и второй законы Ньютона: первый связывает равновесие с неизменностью скорости, а второй позволяет вывести сумму сил. Также необходимы понятия силы, массы и ускорения, умение изображать силы и складывать векторы. Позже это условие будет использоваться вместе с понятием момента силы при изучении второго условия равновесия. Оно помогает решать задачи о покое грузов, опор и конструкций, но само по себе не исключает вращения.

Что запомнить

• Равновесие означает, что ускорение тела равно нулю.
• Первое условие равновесия: векторная сумма всех сил равна нулю.
• Равнодействующая сил равна нулю, если многоугольник сил замкнут.
• В плоской задаче условие равновесия можно записать через проекции на две оси.
• Две силы уравновешивают друг друга, если они равны по модулю, противоположны и направлены вдоль одной прямой.
• Первое условие равновесия само по себе не описывает вращательное действие сил.