"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Потенциальная энергия описывает взаимодействие тел и зависит от их взаимного положения. Она помогает учитывать работу силы тяжести и упругости, даже если движение рассматривают по начальным и конечным состояниям. Для тела у поверхности Земли используют формулу Eп = mgh, для растянутой или сжатой пружины — Eп = kx²/2. Значение энергии отсчитывают от произвольно выбранного нулевого уровня, поэтому в задачах особенно важны его выбор и изменение энергии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела; её значение зависит от их взаимного положения. Например, поднятый над полом предмет и растянутая пружина способны изменить движение других тел. Это понятие нужно, чтобы описывать запас энергии, связанный не со скоростью, а с расположением или деформацией.
Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, в котором потенциальную энергию принимают равной нулю. Его можно провести, например, на уровне пола или стола, если так удобнее для задачи. Выбор нужен как точка отсчёта: без него нельзя однозначно задать высоту и численное значение энергии.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли — энергия, зависящая от высоты тела относительно выбранного нулевого уровня. Чем выше поднято тело той же массы, тем больше его энергия тяжести. Это определение позволяет оценить энергию, которая может перейти в движение при падении.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела — энергия, запасённая при его растяжении или сжатии. После снятия нагрузки упругое тело стремится вернуться к исходной форме и может совершить работу. Понятие используют, чтобы рассчитывать энергию пружины по её жёсткости и величине деформации.
Потенциальная энергия связана с взаимодействием, потому что сила взаимодействия способна совершать работу при изменении взаимного положения тел. Если тела перемещаются, их энергия взаимодействия может переходить в кинетическую энергию — энергию движения — или в другие виды энергии. Поэтому для описания состояния системы не всегда требуется следить за каждым участком траектории: часто достаточно сравнить начальное и конечное положения. Например, при сближении или удалении взаимодействующих тел изменяется энергия системы.
Нулевой уровень выбирают произвольно, поскольку физически важны не отдельные значения потенциальной энергии, а их разности. Можно считать нулём пол, поверхность стола или иной удобный уровень. После выбора нельзя менять точку отсчёта внутри вычислений: иначе высоты, а значит и значения энергии, будут относиться к разным началам. Если сравниваются два положения, оба h должны отсчитываться от одного уровня.
Вблизи поверхности Земли сила тяжести практически постоянна, поэтому изменение энергии тела определяется его массой и изменением высоты. Поднятие тела против силы тяжести требует работы, которая запасается как энергия взаимодействия тела с Землёй; так получается формула Eп = mgh. Здесь m измеряется в килограммах, h — в метрах, а g — в метрах в секунду в квадрате. Чем больше масса или высота над выбранным уровнем, тем больше потенциальная энергия.
При растяжении или сжатии пружины возникает сила упругости, направленная к недеформированному состоянию. Чтобы деформировать пружину, внешняя сила совершает работу; при этом энергия запасается в упругой деформации. Для пружины с жёсткостью k она равна Eп = kx²/2, где x — изменение длины относительно исходного состояния. Квадрат деформации означает, что при увеличении x вдвое энергия возрастает в четыре раза.
Работа консервативной силы, то есть силы, работа которой определяется начальным и конечным положениями, равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп. Знак минус показывает, что положительная работа такой силы сопровождается уменьшением запаса потенциальной энергии. При движении тела вниз сила тяжести помогает перемещению, поэтому её работа положительна, а энергия тяжести снижается. При растяжении пружины энергия упругой деформации, напротив, растёт, поскольку внешняя сила передаёт системе энергию.
| Случай | Формула | Что означают величины | От чего зависит значение | Выбор нулевого уровня |
|---|---|---|---|---|
| Тело в поле тяжести Земли | Eп = mgh | m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота | От массы и высоты относительно уровня | Выбирают удобное положение, например пол |
| Упруго деформированная пружина | Eп = kx²/2 | k — жёсткость, x — деформация | От жёсткости и квадрата деформации | Нулю соответствует недеформированная пружина |
| Единица измерения | Дж (джоуль) | 1 Дж = 1 Н·м | Для обеих формул результат выражается в джоулях | Выбор уровня не меняет единицу |
| Изменение энергии и работа силы | A = −ΔEп | ΔEп = Eп кон − Eп нач | От начального и конечного состояний | Обе энергии считают от одного уровня |
Сначала определите, какой случай описывает задачу, и выберите соответствующую формулу. Затем проверьте, что величины заданы в единицах СИ, а высота или деформация отсчитывается от правильного состояния. Для нахождения работы сравните начальную и конечную энергии и учтите знак в формуле.
Тело массой 2 кг находится на высоте 3 м над полом. Найдём его потенциальную энергию относительно пола при g = 10 м/с². Пол уже задан как нулевой уровень, поэтому h = 3 м; используем Eп = mgh. Проверим единицы: масса дана в килограммах, высота — в метрах.
Ответ: потенциальная энергия тела относительно пола равна 60 Дж. Её положительное значение соответствует тому, что тело находится выше нулевого уровня.
Жёсткость пружины равна 200 Н/м, а растяжение — 0,1 м. Нужно найти запасённую энергию деформации. Деформация уже выражена в метрах, поэтому дополнительных переводов в СИ не требуется; подставляем данные в Eп = kx²/2. Возводить в квадрат нужно именно величину растяжения.
Ответ: пружина запасла 1 Дж энергии. Если бы растяжение увеличилось вдвое при той же жёсткости, энергия выросла бы в четыре раза из-за зависимости от x².
Тело массой 1 кг переместили с высоты 5 м на высоту 2 м; g = 10 м/с². Требуется определить изменение потенциальной энергии и работу силы тяжести. Отсчитываем обе высоты от одного уровня, например пола, и сначала вычисляем энергию в каждом положении. Такой порядок помогает не перепутать знак изменения.
Ответ: потенциальная энергия изменилась на −30 Дж, а сила тяжести совершила работу 30 Дж. Отрицательное изменение показывает, что запас энергии уменьшился при опускании тела.
Ошибка — считать, что потенциальная энергия имеет единственное абсолютное значение, не зависящее от точки отсчёта. Так думают, потому что в формулах часто сразу подставляют готовое значение высоты. Но ноль выбирают произвольно, а физический смысл обычно имеют разность энергий и работа. Проверьте себя: указано ли, относительно чего измерена высота, и используется ли один уровень для всех положений?
Неверно подставлять высоту, отсчитанную не от выбранного нулевого уровня. Это происходит, когда за h принимают расстояние до пола или другой заметной поверхности, хотя нулём задачи назначено другое положение. Тогда расчёт даёт правильную формулу с неправильными исходными данными. Проверьте, откуда именно начинается отсчёт и совпадает ли эта точка с выбранным нулём.
Работу силы тяжести иногда принимают равной изменению потенциальной энергии без смены знака. Ошибка возникает из-за того, что обе величины относятся к одному движению, но характеризуют противоположные изменения: сила совершает работу за счёт уменьшения энергии. Используйте связь A = −ΔEп. При опускании тела энергия должна уменьшиться, а работа силы тяжести — быть положительной.
В формулу энергии пружины нельзя подставлять её полную длину вместо деформации x. Путают эти величины, потому что обе измеряются в метрах, но x показывает, насколько длина изменилась относительно недеформированного состояния. В формуле Eп = kx²/2 при x = 0 энергия равна нулю. Перед вычислением найдите разность между длиной деформированной пружины и её исходной длиной.
Для изучения потенциальной энергии нужны понятия работы силы, массы, высоты и силы упругости, а также умение пользоваться единицами энергии. Работа объясняет, каким образом взаимодействие может изменять запас энергии системы. Знание этих величин помогает выбрать формулу и проверить, что ответ выражен в джоулях.
Понятие потенциальной энергии пригодится при изучении закона сохранения механической энергии. Оно позволяет разбирать движение падающих и поднимающихся тел, а также работу деформированных пружин. В таких задачах энергия может переходить из потенциальной в кинетическую и обратно.
Связь работы консервативной силы с изменением потенциальной энергии позволяет анализировать превращения энергии без подробного описания всего движения. Сравнивая начальное и конечное состояния, можно определить работу силы тяжести или упругости. Этот подход особенно полезен в механических системах, где действуют разные виды сил.
Почему потенциальную энергию нельзя задать без выбора нулевого уровня?
Формулы определяют энергию относительно некоторого положения, принятого за нулевое. Если выбрать другой уровень, численное значение изменится, хотя физические процессы останутся теми же. Поэтому в задаче обязательно указывают, откуда отсчитывают высоту.
Можно ли считать потенциальную энергию отрицательной?
Да, если тело находится ниже выбранного нулевого уровня, его высота h отрицательна и Eп = mgh тоже может быть отрицательной. Это не означает, что у тела нет энергии: знак показывает результат выбранного отсчёта. Изменение энергии и работа силы при этом рассчитываются обычным образом.
Как изменится потенциальная энергия тела, если поднять его вдвое выше?
Если начальная и конечная высоты отсчитываются от одного и того же нулевого уровня, то при удвоении высоты потенциальная энергия тяжести удваивается. Это следует из формулы Eп = mgh: масса и ускорение свободного падения не меняются. Речь идёт о высоте именно относительно выбранного уровня.
Почему при опускании тела работа силы тяжести положительна?
При опускании перемещение тела направлено так же, как сила тяжести, поэтому сила совершает положительную работу. Одновременно потенциальная энергия уменьшается. Эти величины связаны соотношением A = −ΔEп.
Что в формуле энергии пружины означает величина x?
x — это величина деформации пружины, то есть изменение её длины относительно недеформированного состояния. При растяжении или сжатии берут модуль изменения длины. Полную длину пружины в эту формулу не подставляют.
§ 26. Потенциальная энергия.
