§ 62. Постулаты Бора. Корпускулярно-волновой дуализм

Определения и обозначения

Стационарное состояние атома — состояние с определённой энергией, в котором атом не излучает энергию. В модели Бора электрон может находиться лишь в таких состояниях, а не на любой орбите с произвольной энергией. Это понятие объясняет устойчивость атома в рамках модели: электрон не теряет энергию, пока остаётся в разрешённом состоянии.

Квантовый переход — переход атома из одного стационарного состояния в другое. При переходе атом излучает или поглощает квант энергии — фотон. Понятие помогает связать изменение состояния атома с появлением или исчезновением света определённой частоты.

Корпускулярно-волновой дуализм — наличие у микрочастицы признаков и частицы, и волны. Какое свойство проявится, зависит от рассматриваемого явления и способа наблюдения. Эта идея нужна, чтобы описывать явления микромира, которые не укладываются только в классическую картину частиц или только в волновую картину.

Длина волны де Бройля — длина волны, связанной с движущейся частицей: λ = h/p. Здесь λ — длина волны, h — постоянная Планка, p — импульс частицы. Формула позволяет оценить, насколько заметными будут волновые свойства частицы: при большем импульсе длина волны меньше.

Как это устроено

Классическая модель представляла атом как ядро и движущийся вокруг него электрон. Электрон имеет электрический заряд и при движении по кривой траектории ускоряется, а ускоренно движущийся заряд, согласно классической электродинамике, должен излучать энергию. Теряя энергию, электрон приближался бы к ядру и в конце концов упал на него. Значит, такая модель предсказывала бы неустойчивость атома, хотя реальные атомы существуют устойчиво.

Бор предложил считать, что атом может находиться только в некоторых особых состояниях, называемых стационарными. В каждом из них атом обладает определённой энергией и не излучает, даже если электрон движется. Излучение или поглощение происходит не постоянно, а только при переходе между такими состояниями. Так модель отделяет разрешённые состояния атома от самого процесса обмена энергией со светом.

При переходе энергия атома меняется, и эта разность передаётся фотону или берётся из него: hν = |E₂ − E₁|. Здесь E₁ и E₂ — энергии двух состояний, h — постоянная Планка, а ν — частота фотона. Если атом переходит с более высокого уровня на более низкий, его энергия уменьшается и фотон излучается. Если атом переходит на более высокий уровень, ему нужно получить энергию, поэтому фотон поглощается.

Энергии атома не могут принимать любые значения: между разрешёнными уровнями возможны только определённые переходы. Поэтому и разности энергий, а вместе с ними частоты фотонов, тоже ограничены набором отдельных значений. Каждой частоте соответствует линия в спектре, так что спектр атома получается линейчатым. У другого атома набор уровней иной, поэтому отличается и набор спектральных линий.

Де Бройль предположил, что волновые свойства присущи не только свету, но и движущимся частицам. Длина волны такой частицы определяется её импульсом: λ = h/p; чем больше импульс, тем короче волна. Волновые свойства электронов проявляются, например, в дифракции электронов на кристалле: электроны создают картину, характерную для волн. Для макроскопических тел длина волны настолько мала, что обнаружить её обычным способом практически невозможно.

Переходы атома между стационарными состояниями

Таблица показывает, как направление перехода связано с обменом энергией и светом. Сравните начальный и конечный уровни: если конечный ниже, атом отдаёт энергию; если выше — получает её. При неизменном состоянии атома перехода и обмена фотоном не происходит.

Разбор задач

Задача 1. Атом переходит с уровня энергией −3,4 эВ на уровень энергией −13,6 эВ. Определите, излучается или поглощается фотон и какова его энергия.

1. Начальная энергия атома равна −3,4 эВ, конечная — −13,6 эВ.
2. Конечная энергия ниже начальной, поэтому атом теряет энергию и излучает фотон.
3. Находим модуль разности: |−13,6 − (−3,4)| = 10,2 эВ.

Ответ: атом излучает фотон энергией 10,2 эВ. Знак энергий уровней не меняет правила: направление перехода определяем сравнением начальной и конечной энергий, а энергию фотона находим по модулю разности.

Задача 2. При переходе атома между двумя уровнями испускается фотон частотой 6,0 × 10¹⁴ Гц. Найдите разность энергий уровней.

1. Используем формулу энергии фотона E = hν, где h = 6,63 × 10⁻³⁴ Дж·с.
2. Подставляем частоту: E = 6,63 × 10⁻³⁴ × 6,0 × 10¹⁴ = 3,978 × 10⁻¹⁹ Дж.
3. При излучении эта энергия равна модулю разности энергий уровней.

Ответ: разность энергий равна примерно 4,0 × 10⁻¹⁹ Дж. Речь идёт именно о разности, а не об энергии одного из уровней. Если нужно выразить результат в электрон-вольтах, его можно разделить на 1,60 × 10⁻¹⁹ Дж/эВ.

Задача 3. Электрон движется со скоростью 2,0 × 10⁶ м/с. Найдите длину волны де Бройля, считая его импульс равным произведению массы на скорость.

1. Для нерелятивистского электрона p = mv; масса электрона m = 9,11 × 10⁻³¹ кг.
2. Импульс: p = 9,11 × 10⁻³¹ × 2,0 × 10⁶ = 1,822 × 10⁻²⁴ кг·м/с.
3. Подставляем p в формулу λ = h/p: λ = 6,63 × 10⁻³⁴ / 1,822 × 10⁻²⁴ ≈ 3,6 × 10⁻¹⁰ м.

Ответ: длина волны электрона приблизительно равна 3,6 × 10⁻¹⁰ м. Сначала вычислен импульс, затем применена формула де Бройля. Проверка единиц показывает, что Дж·с/(кг·м/с) равняется метру.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что электрон в стационарном состоянии непрерывно излучает. Так рассуждают, перенося на атом классическую модель движущегося заряда. Но постулат Бора прямо указывает: в стационарном состоянии излучения нет. Проверьте себя вопросом, описан ли переход между уровнями: без перехода нельзя говорить об излучении в модели Бора.

Ошибка: путать излучение и поглощение. Иногда направление обмена энергией определяют по знакам чисел, не сравнивая уровни. При излучении атом переходит на более низкий уровень, а при поглощении — на более высокий. Для проверки сравните энергию до и после перехода: уменьшение означает излучение, увеличение — поглощение.

Ошибка: считать энергию фотона равной энергии одного уровня. Такое смешение возникает из-за того, что обе величины обозначают энергиями. Фотон получает или отдаёт энергию при переходе, поэтому hν равно модулю разности энергий начального и конечного состояний. Подставляя значения, сначала вычтите энергию одного уровня из другого.

Ошибка: считать волновые свойства де Бройля свойством только света. Свет действительно проявляет волновые свойства, но гипотеза де Бройля относится и к движущимся частицам. Для массивных тел длина волны крайне мала, поэтому волновые проявления незаметны в повседневном опыте. Проверка проста: в λ = h/p можно подставить импульс любой движущейся частицы.

Связь с другими темами

Для изучения постулатов Бора нужны понятия энергетического уровня и строения атома, а также формула энергии фотона E = hν. Она связывает частоту света с энергией, передаваемой при переходе между уровнями. Постулаты Бора помогают объяснить спектры атомов и происхождение отдельных спектральных линий. Гипотеза де Бройля подготавливает переход к квантовой механике, где волновые свойства частиц рассматриваются наряду с их корпускулярными свойствами.

Что запомнить

• Атом может находиться только в определённых стационарных состояниях.
• В стационарном состоянии атом не излучает энергию.
• Излучение и поглощение происходят при переходах между уровнями.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |E₂ − E₁|.
• Дискретные уровни энергии объясняют линейчатый спектр атома.
• Движущейся частице соответствует волна де Бройля с длиной λ = h/p.