§ 24. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mυ. Здесь p — импульс, m — масса, υ — скорость. Направление импульса совпадает с направлением скорости, поэтому при движении в противоположные стороны импульсы имеют разные направления.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в выбранную систему: pсист = p₁ + p₂ + … . Системой можно считать, например, два сталкивающихся тела или ракету вместе с газами. Это понятие нужно, чтобы учитывать обмен импульсами между телами.

Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю. Внутренние силы между телами при этом возможны: например, тела могут толкать друг друга. Условие замкнутости позволяет не учитывать влияние окружающих тел.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе суммарный импульс тел сохраняется. Поэтому pсист до = pсист после, хотя импульс каждого отдельного тела может измениться. Закон связывает состояние системы до взаимодействия и после него.

Как это устроено

Из второго закона Ньютона сила связана с изменением импульса: F = Δp/Δt, а при постоянной массе Δp = mΔυ. Значит, сила не просто сообщает телу ускорение, а изменяет его импульс за определённое время. Чем больше сила или время её действия, тем сильнее меняется импульс.

Рассмотрим два взаимодействующих тела. По третьему закону Ньютона силы их взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению: F₁₂ = −F₂₁. За одинаковый промежуток времени изменения импульсов также противоположны, поэтому Δp₁ + Δp₂ = 0 и сумма импульсов остаётся постоянной.

Перед решением задачи сначала выбирают систему тел и границы рассматриваемого процесса. Затем проверяют внешние силы: трение, сопротивление воздуха или действие опоры могут нарушить сохранение импульса. Иногда внешняя сила есть, но её импульс за короткое время столкновения мал, поэтому системой приближённо считают замкнутой.

Для столкновения записывают сумму импульсов до взаимодействия и приравнивают её сумме после: m₁υ₁ + m₂υ₂ = m₁υ₁′ + m₂υ₂′. При неупругом столкновении тела после удара движутся вместе, поэтому появляется одна общая скорость. При разлёте или отдаче начальный импульс может быть нулевым, а противоположные импульсы возникших частей взаимно компенсируются.

Реактивное движение возникает, когда тело отделяет от себя часть массы с некоторой скоростью. Выброшенные газы получают импульс назад, а ракета — равный по модулю импульс вперёд. Поэтому ракета разгоняется и в безвоздушном космосе: ей не требуется опора в виде воздуха.

Импульс и закон его сохранения

Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: сначала определите систему и проверьте условие замкнутости, затем выберите ось. После этого запишите импульсы всех тел со знаками и сравните их сумму до и после взаимодействия.

Если движение происходит по одной прямой, векторные равенства превращаются в алгебраические. Знак результата показывает направление движения относительно выбранной положительной оси.

Разбор задач

Столкновение двух тел

Два тела массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 2 м/с. После неупругого столкновения они движутся вместе. Нужно найти их общую скорость и направление.

1. Выберем направление движения тела массой 2 кг за положительное: υ₁ = 4 м/с, υ₂ = −2 м/с.
2. До столкновения общий импульс равен pдо = 2·4 + 3·(−2) = 2 кг·м/с.
3. После удара тела имеют общую скорость V, поэтому pпосле = (2 + 3)V. Из равенства импульсов получаем 5V = 2, V = 0,4 м/с.

Ответ: тела движутся вместе со скоростью 0,4 м/с в направлении первоначального движения тела массой 2 кг. Положительный результат показывает, что выбранное направление сохранилось.

Выброс груза с тележки

Тележка массой M с грузом массой m движется со скоростью V₀ по гладкой поверхности. Груз выбрасывают назад со скоростью u относительно тележки. Найдём скорость тележки после выбрасывания.

1. Тележка и груз образуют замкнутую систему: горизонтальных внешних сил практически нет. До выброса pдо = (M + m)V₀.
2. Пусть после выброса тележка движется со скоростью V вперёд. Скорость груза относительно Земли равна V − u, так как он летит назад относительно тележки.
3. Запишем сохранение импульса: (M + m)V₀ = MV + m(V − u). Отсюда V = V₀ + mu/M.

Ответ: скорость тележки увеличится до V = V₀ + mu/M. Чем больше масса выброшенного груза и его относительная скорость, тем сильнее разгон тележки.

Разгон ракеты

Ракета стартует из покоя. После выброса масса ракеты равна M, масса газов — m, а газы вылетают со скоростью u относительно ракеты. Внешними силами пренебрегаем.

1. До выброса общий импульс равен нулю. Пусть ракета после выброса движется вперёд со скоростью V.
2. Скорость газов относительно Земли равна V − u, потому что их движение направлено назад относительно ракеты.
3. Из закона сохранения импульса: 0 = MV + m(V − u). Поэтому V = mu/(M + m).

Ответ: ракета получает скорость V = mu/(M + m) в сторону, противоположную истечению газов. В реальном полёте выброс продолжается, поэтому скорость ракеты постепенно возрастает.

Типичные ошибки

Складывают модули импульсов вместо векторного сложения. Так происходит, если не выбрать положительное направление оси и не поставить знак у встречной скорости. Проверьте себя: тела, движущиеся навстречу, должны иметь противоположные знаки.

Систему считают замкнутой, не проверив внешние силы. Трение и сопротивление воздуха могут изменить общий импульс выбранных тел. Перечислите внешние воздействия и оцените, можно ли ими пренебречь в условии.

Скорость выброшенного тела относительно ракеты подставляют как скорость относительно Земли. Эти скорости различаются, поскольку ракета сама движется. Сначала выразите скорость в общей системе отсчёта и только потом используйте закон сохранения импульса.

Закон записывают только для одного тела. При взаимодействии его импульс действительно меняется, поэтому равенство для него одного обычно неверно. Проверьте, вошли ли в систему все тела, участвующие в столкновении или выбросе.

Связь с другими темами

Для изучения импульса нужны масса, скорость, сила, законы Ньютона, векторное сложение и умение выбирать систему отсчёта. Закон сохранения импульса применяется к столкновениям, отдаче оружия, движению ракет и работе реактивных двигателей. Эта тема подготавливает переход к законам сохранения энергии и более сложным задачам механики.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению массы на скорость и является вектором.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов входящих в неё тел.
• В замкнутой системе суммарный импульс не изменяется.
• Перед применением закона нужно выбрать систему тел и положительное направление оси.
• При взаимодействии тела могут изменить свои импульсы, но их суммарный импульс сохраняется.
• Реактивное движение возникает при отделении части массы тела.
• Ракета движется в сторону, противоположную направлению истечения газов.