§57. Электрическая ёмкость  

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость проводника — физическая величина, равная отношению заряда проводника к его потенциалу: C = q/φ. Здесь q — заряд, φ — потенциал проводника относительно бесконечно удалённых тел. Ёмкость показывает, какой заряд соответствует данному потенциалу, поэтому с её помощью сравнивают проводники по способности накапливать электрический заряд.

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, то есть вещества, которое почти не проводит электрический ток. Проводники называют обкладками; на них накапливаются равные по модулю и противоположные по знаку заряды. Такая система позволяет накапливать заряд и энергию электрического поля в компактном устройстве.

Электрическая ёмкость конденсатора равна отношению модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. В СИ ёмкость измеряется в фарадах: 1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — крупная единица, поэтому часто используют микрофарады, нанофарады и пикофарады; эта величина нужна для расчётов в электрических цепях.

Как это устроено

Если сообщить заряд отдельному проводнику, на нём появляется электрическое поле и изменяется потенциал. При неизменных форме и размерах проводника больший заряд создаёт пропорционально больший потенциал. Поэтому отношение q/φ остаётся постоянным и характеризует сам проводник, а не конкретное количество сообщённого ему заряда.

В конденсаторе два проводника расположены близко, поэтому поле одного заметно влияет на другой. Когда на обкладки переносят заряды, на одной возникает +q, а на другой −q. Их поля в пространстве между обкладками складываются, а вне конденсатора частично компенсируются; благодаря этому конденсатор может хранить заряд при сравнительно небольшом напряжении.

Ёмкость конденсатора определяют его устройство и среда между обкладками. Для плоского конденсатора C = εε₀S/d: S — площадь перекрывающихся пластин, d — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества, ε₀ — электрическая постоянная. Большая площадь позволяет разместить больше заряда, а уменьшение расстояния усиливает взаимодействие обкладок и повышает ёмкость.

Диэлектрик между обкладками тоже увеличивает ёмкость по сравнению с вакуумом. Его молекулы поляризуются в электрическом поле: связанные заряды немного смещаются и ослабляют поле внутри вещества. При том же заряде напряжение становится меньше, поэтому отношение q/U, то есть ёмкость, возрастает в ε раз.

Формула C = q/U показывает связь заряда и напряжения для конденсатора фиксированной конструкции. Если увеличить заряд в несколько раз, напряжение возрастёт во столько же раз, а их отношение не изменится. Следовательно, ёмкость не следует считать зарядом: это характеристика, определяемая геометрией обкладок и материалом между ними.

Формулы и величины

Выбирайте формулу по данным задачи: для заряда и напряжения подходит C = q/U, а для геометрии плоского конденсатора — C = εε₀S/d. В последней формуле все длины и площади сначала переводят в единицы СИ. Таблица помогает не путать ёмкость с зарядом и правильно расшифровывать обозначения.

Разбор задач

Задача. Конденсатор имеет ёмкость 4 мкФ. Какой заряд накопится на его обкладке, если напряжение между ними равно 12 В? Нужно найти заряд одной обкладки по модулю. Удобнее сначала записать связь между ёмкостью, зарядом и напряжением, а затем выразить неизвестную величину.

1. Запишем данные: C = 4 мкФ, U = 12 В. Искомая величина — q.
2. Переведём ёмкость в фарады: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф. Это необходимо, чтобы ответ получить в кулонах.
3. Используем определение ёмкости конденсатора: C = q/U. Выразим заряд: q = CU.
4. Подставим значения: q = 4 · 10⁻⁶ Ф · 12 В = 48 · 10⁻⁶ Кл = 48 мкКл. При умножении фарад на вольт получаются кулоны, поскольку 1 Ф = 1 Кл/В.

Ответ: модуль заряда каждой обкладки равен 48 мкКл. Обкладки имеют противоположные знаки, поэтому на одной находится заряд +48 мкКл, а на другой −48 мкКл. Проверка здравого смысла тоже полезна: при фиксированном напряжении увеличение ёмкости должно увеличивать заряд, и в вычислении заряд действительно пропорционален C.

Типичные ошибки

• Подставлять в формулу C = q/U полный заряд обеих обкладок. Часто так делают, потому что у конденсатора две пластины, но q в формуле — модуль заряда одной обкладки. Проверка: заряды пластин равны по модулю, а не складываются; подставьте заряд одной пластины.
• Считать, что ёмкость увеличивается просто из-за увеличения заряда. Это путают с тем, что заряд действительно растёт при постоянном напряжении. Проверьте устройство: если геометрия и диэлектрик прежние, C остаётся прежней, а вместе с q меняется U.
• Не переводить микрофарады в фарады перед вычислением. Приставка «микро» означает 10⁻⁶, и её пропуск даёт ошибку в миллион раз. Проверьте ответ через единицы: если заряд считают в кулонах, ёмкость в формуле должна быть выражена в фарадах.
• Путать влияние расстояния и площади в формуле плоского конденсатора. Ошибка возникает, если воспринимать все параметры как прямо пропорциональные ёмкости. Сверьтесь с C = εε₀S/d: площадь стоит в числителе, а расстояние — в знаменателе.

Связь с другими темами

Ёмкость связывает изученные понятия заряда, потенциала и напряжения: формула C = q/U позволяет переходить от одного к другому. Она также зависит от электрического поля между обкладками, поэтому помогает понять роль диэлектрика и устройство конденсатора. В задачах по электрическим цепям ёмкость используют, чтобы определить, какой заряд накопит конденсатор при заданном напряжении.

Что запомнить

• Ёмкость характеризует способность проводника или конденсатора накапливать заряд.
• Для конденсатора C = q/U; q — модуль заряда одной обкладки.
• Единица ёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Ёмкость определяется геометрией проводников и свойствами среды, а не величиной заряда.
• Для плоского конденсатора C = εε₀S/d: увеличение площади и ε повышает ёмкость, увеличение расстояния уменьшает её.