§ 2.2. Плотность тока. Сила тока

Определения и обозначения

Электрический ток — упорядоченное движение заряженных частиц. Для него необходимы свободные носители заряда и электрическое поле, которое вызывает их направленное движение. Это понятие помогает описывать перенос заряда в проводнике, электролите или другом веществе. Условное направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов.

Сила тока I равна заряду Δq, проходящему через поперечное сечение проводника за промежуток времени Δt: I = Δq/Δt. Она показывает, сколько заряда переносится за единицу времени, а не просто сколько частиц движется. Единица силы тока — ампер (А), причём 1 А = 1 Кл/с. Поэтому время в этой формуле выражают в секундах.

Плотность тока j — векторная величина, характеризующая силу тока, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения. Если ток распределён по сечению равномерно, j = I/S, где S — площадь сечения. Плотность нужна, чтобы сравнивать токи в проводниках разной толщины: один и тот же ток на меньшей площади создаёт большую плотность.

Вектор плотности тока направлен по движению положительных зарядов и перпендикулярен площадке поперечного сечения. Это уточняет не только величину тока на единицу площади, но и его направление в каждой точке. Для положительных носителей направление вектора совпадает с их движением, а для отрицательных — противоположно. Поэтому в металлах вектор плотности тока направлен не туда, куда движутся электроны.

Как это устроено

Сила тока определяется зарядом, прошедшим через сечение за время, потому что именно заряд характеризует перенос электрического взаимодействия. Количество частиц само по себе не говорит, насколько велик этот перенос: частицы могут иметь разные заряды. Кроме того, за одинаковое время через сечение может пройти разное число носителей. Деление заряда на время позволяет сравнивать интенсивность переноса в разных условиях.

Связь I = qnSv можно получить, рассмотрев носители, движущиеся со средней направленной скоростью v. За время Δt они проходят вдоль проводника расстояние vΔt, поэтому через сечение перемещается заряд из слоя объёмом SvΔt. В этом объёме находится nSvΔt частиц, а полный заряд равен qnSvΔt. Делим его на Δt и получаем I = qnSv; для электронов q здесь означает модуль их заряда.

Если через проводники одинаковый ток проходит за одно и то же время, заряд в секунду у них одинаков, но распределяется по разным площадям. При уменьшении S тот же ток приходится на меньшую площадь, поэтому j = I/S возрастает. Это похоже на поток людей через проход: при той же общей пропускной способности более узкий проход означает большую плотность потока. Значит, сравнивать только силу тока недостаточно, если сечения проводников различаются.

При однородном распределении тока плотность одинакова в каждой точке сечения, и суммарный ток равен I = jS. Если распределение неоднородно, разные участки сечения могут пропускать разные доли общего тока. Тогда нельзя умножить одно произвольно выбранное значение j на всю площадь: нужно учитывать плотность тока на отдельных участках. В простейшем случае с несколькими равномерными участками ток складывают по их вкладам.

Направление тока исторически и по соглашению связывают с движением положительных зарядов. В металле свободные носители — электроны, имеющие отрицательный заряд, поэтому поле заставляет их двигаться противоположно условному направлению тока. В электролитах и некоторых других средах ток могут переносить положительные частицы, и тогда направления совпадают. Такое соглашение позволяет одинаково описывать ток независимо от того, какие именно носители движутся.

Сила тока и плотность тока

Сравнивайте величины в таблице, чтобы не путать полный ток через сечение с его распределением по площади. Формулу j = I/S применяют непосредственно, когда ток однороден по сечению; обратная связь тогда имеет вид I = jS. Микроскопические формулы показывают, как ток связан с движением носителей внутри вещества.

Разбор задач

Задача 1. Через поперечное сечение проводника за 2 минуты проходит заряд 120 Кл. Найти силу тока. Известны заряд и время, поэтому подходит определение I = q/t. Сначала переведём время в секунды, так как ампер — это кулон в секунду.

1. Переводим время: t = 2 мин = 2 · 60 = 120 с.
2. Подставляем значения: I = q/t = 120 Кл/120 с.
3. Вычисляем: I = 1 А.

Ответ: сила тока равна 1 А. Такой результат означает, что каждую секунду через сечение проходит заряд 1 Кл.

Задача 2. По медному проводу с площадью поперечного сечения 2 мм² течёт ток 4 А. Найти плотность тока. Используем j = I/S, но сначала приведём площадь к квадратным метрам, чтобы получить единицу А/м². Здесь площадь дана уже напрямую, поэтому вычислять её по диаметру не требуется.

1. Переводим площадь: 1 мм² = 10⁻⁶ м², значит S = 2 · 10⁻⁶ м².
2. Подставляем силу тока и площадь: j = 4 А/(2 · 10⁻⁶ м²).
3. Вычисляем: j = 2 · 10⁶ А/м².

Ответ: плотность тока равна 2 · 10⁶ А/м². Она показывает, какой ток приходится на каждый квадратный метр сечения провода.

Задача 3. Концентрация электронов равна n, средняя скорость их направленного движения — v, модуль заряда электрона — e, площадь сечения — S. Требуется получить формулы для плотности и силы тока. За время Δt электроны проходят расстояние vΔt, поэтому учитываем заряд в соответствующем цилиндрическом слое провода. Поскольку электроны отрицательны, направление тока противоположно их движению.

1. Объём слоя, проходящего через сечение за время Δt: V = SvΔt.
2. Число электронов в слое: N = nV = nSvΔt; модуль их общего заряда Δq = Ne = neSvΔt.
3. Делим заряд на время: I = Δq/Δt = nevS, а плотность по модулю j = I/S = nev.

Ответ: I = nevS и j = nev по модулю. Вектор плотности тока направлен противоположно скорости электронов.

Типичные ошибки

Подстановка времени в минутах или часах в I = q/t даёт неверное численное значение, потому что ампер соответствует кулону в секунду. Такую ошибку легко допустить, если подставить данные задачи без перевода единиц. Перед вычислением переведите время в секунды и проверьте, что единица ответа получается Кл/с, то есть А.

Иногда в формулу плотности тока подставляют диаметр или радиус вместо площади. Причина — смешение линейного размера провода с площадью его сечения. Сначала вычислите S: для радиуса S = πr², для диаметра S = πd²/4. Проверьте единицы: в формуле j = I/S площадь должна быть выражена в м², если ответ нужен в А/м².

Плотность тока не равна силе тока независимо от толщины провода: для однородного тока между ними есть множитель площади, j = I/S. Ошибка возникает, когда эти две величины воспринимают как разные обозначения одного и того же. Сравните проводники с одинаковым током, но разными сечениями: у более тонкого провода плотность выше. Проверить расчёт можно обратной формулой I = jS.

Направление условного тока нельзя задавать по движению электронов в металле. Электроны отрицательны, а за направление тока принято направление движения положительных зарядов, поэтому эти направления противоположны. Ошибка появляется, если забыть о знаке заряда носителя. Для самопроверки уточните, кто переносит заряд: у положительных носителей движение совпадает с током, у электронов — нет.

Связь с другими темами

Для изучения силы и плотности тока понадобятся знания об электрическом заряде, элементарном заряде, скорости движения частиц, площади сечения и единицах СИ. Эти понятия позволяют перейти от движения отдельных носителей к измеряемым характеристикам тока. Далее они используются при изучении закона Ома для участка цепи, сопротивления проводников и распределения тока. Плотность тока также помогает обсуждать безопасную работу проводов и применяется при описании электролитов, полупроводников и электрических измерений.

Что запомнить

• Сила тока показывает, какой заряд проходит через сечение за единицу времени.
• I = Δq/Δt; единица силы тока — ампер.
• Плотность тока показывает силу тока, приходящуюся на единицу площади сечения.
• Для однородного тока j = I/S, а I = jS.
• Микроскопически j = nqv для носителей одного типа.
• Плотность тока — векторная величина, сила тока — скалярная.
• Направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов.