§ 29. Коэффициент полезного действия тепловых двигателей

Определения и обозначения

Коэффициент полезного действия теплового двигателя η — отношение полезной работы к количеству теплоты, полученному от нагревателя: η = A / Q₁. КПД показывает, какая часть поступившей энергии пошла на нужную работу, а не осталась в виде теплоты. Его записывают десятичной дробью или в процентах: η% = η × 100%.

Полезная работа A — работа, которую тепловой двигатель совершает для выполнения внешней задачи. Например, двигатель приводит в движение автомобиль или вращает механизм. Именно эту работу сравнивают с полученной теплотой, чтобы оценить эффективность устройства.

Количество теплоты Q₁ — энергия, полученная рабочим телом от нагревателя. Рабочее тело — вещество, которое нагревается и участвует в работе двигателя. Q₁ служит исходной энергией для расчёта КПД, поэтому стоит в знаменателе формулы.

Количество теплоты Q₂ — энергия, переданная рабочим телом холодильнику. Холодильником называют более холодное тело или среду, куда уходит часть теплоты. Эта величина позволяет выяснить, сколько энергии не стало полезной работой.

Как это устроено

Тепловой двигатель получает энергию от нагревателя, но превращает в механическую работу лишь часть этой энергии. Рабочее тело нагревается, расширяется и приводит в движение части механизма. Оставшаяся теплота уходит к холодильнику: без этого отвода тепла двигатель не мог бы непрерывно работать. Поэтому в устройстве есть и нагреватель, и холодильник.

Связь между теплотой и работой задаёт закон сохранения энергии: энергия не возникает из ничего и не исчезает, а переходит из одной формы в другую. За цикл двигатель получает Q₁, отдаёт холодильнику Q₂, а разность этих количеств теплоты превращается в полезную работу. Значит, A = Q₁ − Q₂. Чем больше теплоты приходится отдать холодильнику, тем меньше остаётся для совершения работы.

По определению КПД сравнивает полезный результат с энергией, затраченной на его получение. Энергия поступает от нагревателя в количестве Q₁, а полезный результат — работа A, поэтому η = A / Q₁. Подставив связь A = Q₁ − Q₂, получаем вторую запись: η = (Q₁ − Q₂) / Q₁. Обе формулы дают один и тот же результат, но во второй явно видна роль теплоты, уходящей холодильнику.

В формулах КПД — отношение двух величин, измеряемых в одинаковых единицах, поэтому единицы сокращаются. Получается доля единицы, например 0,3; её можно перевести в проценты, умножив на 100%, и получить 30%. КПД не может быть больше 100%, потому что для этого полезная работа должна была бы превысить полученную от нагревателя энергию. У реального двигателя работа даже меньше этой энергии: часть теплоты передаётся холодильнику, а часть энергии теряется.

Повысить КПД можно, если уменьшить потери: например, снизить трение движущихся деталей и нежелательный нагрев окружающих частей. Тогда большая доля полученной энергии останется доступной для полезной работы. Ещё один способ описать улучшение — увеличить отношение A к Q₁, то есть превратить в работу большую долю теплоты нагревателя. При этом передача некоторого количества теплоты холодильнику всё равно необходима.

Величины и формулы, характеризующие КПД теплового двигателя

Пользуйтесь строкой с той величиной, которую требуется найти, и проверяйте, какие данные известны. Перед вычислением убедитесь, что Q₁, Q₂ и A выражены в одинаковых единицах. Если ответ нужен в процентах, сначала получите η как десятичную дробь, затем умножьте её на 100%.

Разбор задач

Задача 1

Тепловой двигатель получил от нагревателя 800 кДж теплоты и совершил полезную работу 200 кДж. Найдём КПД. Известны Q₁ = 800 кДж и A = 200 кДж, поэтому применяем формулу η = A / Q₁: сравниваем полезный результат с энергией, которая поступила в двигатель.

1. Записываем формулу: η = A / Q₁.
2. Подставляем значения: η = 200 / 800 = 0,25.
3. Переводим дробь в проценты: 0,25 × 100% = 25%.

Ответ: КПД двигателя равен 0,25, или 25%. Это означает, что четверть полученной теплоты превратилась в полезную работу.

Задача 2

За один цикл двигатель получил от нагревателя 1,5 МДж теплоты и передал холодильнику 1,2 МДж. Требуется найти работу и КПД. Здесь известны обе величины теплоты, поэтому сначала используем закон сохранения энергии: их разность и есть полезная работа.

1. Находим работу: A = Q₁ − Q₂ = 1,5 − 1,2 = 0,3 МДж.
2. Подставляем работу и полученную теплоту в формулу КПД: η = A / Q₁ = 0,3 / 1,5 = 0,2.
3. Переводим результат в проценты: 0,2 × 100% = 20%.

Ответ: полезная работа равна 0,3 МДж, КПД равен 0,2, или 20%. Мегаджоули не пришлось переводить в джоули, потому что обе величины были выражены в одинаковых единицах.

Задача 3

Двигатель с КПД 25% должен совершить полезную работу 500 кДж. Найдём количество теплоты от нагревателя и количество теплоты, переданное холодильнику. Сначала переводим проценты в долю единицы: η = 25 / 100 = 0,25. В формуле η = A / Q₁ неизвестно Q₁, поэтому выражаем его: Q₁ = A / η.

1. Находим полученную теплоту: Q₁ = 500 / 0,25 = 2000 кДж.
2. Используем связь A = Q₁ − Q₂ и выражаем Q₂: Q₂ = Q₁ − A.
3. Подставляем значения: Q₂ = 2000 − 500 = 1500 кДж.

Ответ: от нагревателя двигатель должен получить 2000 кДж теплоты, а холодильнику передать 1500 кДж. Проверка: 2000 − 1500 = 500 кДж, как и заданная полезная работа.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поставить Q₂ в знаменатель вместо Q₁. Так происходит, когда путают теплоту, полученную двигателем, с теплотой, отданной холодильнику. Проверьте смысл знаменателя: КПД сравнивает работу с энергией, затраченной на неё, то есть с Q₁.

Вторая ошибка — считать КПД отношением количества теплоты к работе. При таком выборе величин теряется смысл КПД: он показывает долю полученной теплоты, превратившуюся в работу, поэтому верно η = A / Q₁. Для проверки сопоставьте ответ с вопросом: какая часть энергии нагревателя пошла на полезную задачу?

Третья ошибка — подставить 25 вместо 0,25, когда КПД дан в процентах. Процент означает сотую долю, поэтому перед вычислениями нужно разделить число процентов на 100. Проверьте результат: для КПД 25% отношение A / Q₁ должно быть равно 0,25.

Четвёртая ошибка — получить для реального двигателя КПД больше 100% или ровно 100%. Обычно причина в неверном вычитании Q₁ − Q₂, перепутанных величинах или неучтённой теплоте, отданной холодильнику. Проверьте, что Q₁ больше A, а Q₂ положительно: тогда КПД меньше единицы. Равный 100% результат означал бы, что вся теплота стала работой, чего реальный тепловой двигатель не делает.

Связь с другими темами

Для изучения КПД нужны закон сохранения энергии, понятия работы и количества теплоты, а также представление о нагревателе и холодильнике теплового двигателя. Эти знания помогают проследить, куда переходит энергия. Понятие КПД применяют, чтобы сравнивать экономичность двигателей, рассчитывать расход топлива и оценивать потери энергии машин. Оно пригодится при изучении энергетики, двигателей внутреннего сгорания и способов повышения эффективности технических устройств.

Что запомнить

• КПД показывает, какая доля теплоты от нагревателя превращается в полезную работу.
• Основная формула: η = A / Q₁.
• Полезная работа двигателя равна разности A = Q₁ − Q₂.
• КПД можно вычислять по формуле η = (Q₁ − Q₂) / Q₁.
• КПД выражают долей единицы или процентами.
• КПД реального теплового двигателя меньше 100%, потому что часть энергии передаётся холодильнику и расходуется на потери.
• Для повышения КПД нужно уменьшать потери энергии и увеличивать долю теплоты, превращаемой в работу.