Тема 15. Введение в квантовую физику

Определения и обозначения

Квант энергии — порция энергии, которую система поглощает или испускает. Энергия кванта электромагнитного излучения равна E = hν, где h — постоянная Планка, а ν — частота. Значит, чем выше частота, тем больше энергия одной порции. Это понятие позволяет описывать обмен энергией между светом и веществом.

Фотон — частица электромагнитного излучения. Его энергия E = hν = hc/λ, а импульс p = E/c = h/λ; здесь c — скорость света, λ — длина волны. Фотон не имеет массы покоя, но переносит энергию и импульс. Эти характеристики нужны, чтобы рассчитывать, как свет взаимодействует с веществом.

Фотоэффект — вырывание электронов из вещества под действием света. Внешний фотоэффект наблюдают, когда электроны покидают поверхность и могут двигаться дальше, например в вакууме. При достаточной частоте света появление электронов происходит без заметного ожидания, а усиление света обычно увеличивает их число. Фотоэффект показывает, что свет передаёт веществу энергию порциями.

Работа выхода Aвых — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из вещества. Её значение зависит от материала и состояния его поверхности: в разных веществах электроны удерживаются по-разному. Если энергии фотона меньше работы выхода, электрон не сможет покинуть материал. Поэтому для каждого вещества существует своя пороговая частота.

Как это устроено

Представление об энергии как о непрерывной величине означало бы, что система может получать сколь угодно малую порцию энергии. Но при излучении и поглощении света наблюдались ситуации, которые такое объяснение не описывало: обмен энергией происходил определёнными порциями. Гипотеза квантов позволила связать эти порции с частотой излучения. Она объясняет, почему нельзя произвольно уменьшать энергию отдельного акта взаимодействия, сохраняя ту же частоту.

Согласно гипотезе Планка, энергия порции света равна E = hν. Интенсивность показывает, сколько энергии переносится светом за определённое время и на определённую площадь, но не задаёт энергию отдельного фотона. При увеличении интенсивности обычно возрастает число фотонов, а не энергия каждого из них. Чтобы увеличить энергию одного фотона, нужно увеличить частоту излучения.

Свет распространяется и обнаруживает свойства волны: у него есть частота и длина волны, а волновая модель объясняет, например, интерференцию. При взаимодействии с отдельными электронами свет ведёт себя как поток фотонов, каждый из которых передаёт энергию порцией. Это не означает, что свет в одних опытах «становится» волной, а в других — частицами: обе модели описывают разные проявления одного объекта. Такое сочетание называют корпускулярно-волновым дуализмом.

При фотоэффекте энергия фотона сначала расходуется на преодоление притяжения электрона к веществу. Эта минимальная часть энергии равна работе выхода Aвых. Остаток переходит в кинетическую энергию вылетевшего электрона: hν = Aвых + Eк. Если фотон передал больше энергии, чем нужно для выхода, электрон покидает поверхность с некоторой скоростью.

Частота и интенсивность влияют на фотоэффект по-разному, потому что отвечают за разные характеристики света. Частота задаёт энергию одного фотона: при её увеличении растёт максимальная кинетическая энергия электронов. Интенсивность при достаточной частоте означает, что на поверхность за время падает больше фотонов, поэтому обычно увеличивается число выбитых электронов. Если частота ниже пороговой, ни один фотон не преодолеет работу выхода, даже при большой интенсивности.

Основные характеристики фотона и фотоэффекта

При решении задачи сначала определите, какие величины известны, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Если дана длина волны, используйте E = hc/λ; если частота — E = hν. Следите за единицами: энергию удобно выражать в джоулях, длину волны переводить в метры.

Разбор задач

Энергия красного фотона

Найдём энергию фотона красного света частотой 4,5 · 10¹⁴ Гц. Красный свет имеет сравнительно небольшую частоту, но энергия отдельного фотона всё равно определяется именно ею. Возьмём постоянную Планка h = 6,63 · 10⁻³⁴ Дж · с. Нужно подставить частоту в формулу и проверить, что единицы результата — джоули.

1. Запишем формулу: E = hν.
2. Подставим значения: E = 6,63 · 10⁻³⁴ · 4,5 · 10¹⁴.
3. Перемножим числа и степени десяти: E ≈ 2,98 · 10⁻¹⁹ Дж. Единицы (Дж · с) · Гц превращаются в джоули, поскольку 1 Гц = 1/с.

Ответ: энергия фотона равна примерно 3,0 · 10⁻¹⁹ Дж.

Пороговая частота для металла

Для металла работа выхода равна 3,3 · 10⁻¹⁹ Дж. Определим минимальную частоту света, при которой фотоэффект возможен. На пороге электрон только получает возможность покинуть металл, поэтому его кинетическая энергия равна нулю. Вся энергия фотона при этом расходуется на работу выхода.

1. Запишем условие порога: hν₀ = Aвых.
2. Выразим частоту: ν₀ = Aвых/h.
3. Подставим значения: ν₀ = (3,3 · 10⁻¹⁹)/(6,63 · 10⁻³⁴) ≈ 5,0 · 10¹⁴ Гц.
4. Сравним частоту падающего света с пороговой: фотоэффект возможен при ν ≥ ν₀.

Ответ: минимальная частота составляет примерно 5,0 · 10¹⁴ Гц.

Кинетическая энергия и задерживающее напряжение

Пусть частота падающего света равна 8,0 · 10¹⁴ Гц, а работа выхода — 3,2 · 10⁻¹⁹ Дж. Найдём максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и задерживающее напряжение, которое остановит самые быстрые из них. Сначала проверим, что энергии фотона хватает на выход электрона. Затем остаток энергии свяжем с напряжением, учитывая, что заряд электрона по модулю e = 1,60 · 10⁻¹⁹ Кл.

1. Найдём энергию фотона: E = hν = 6,63 · 10⁻³⁴ · 8,0 · 10¹⁴ = 5,30 · 10⁻¹⁹ Дж.
2. Вычтем работу выхода: Eк max = hν − Aвых = 5,30 · 10⁻¹⁹ − 3,2 · 10⁻¹⁹ = 2,10 · 10⁻¹⁹ Дж. Положительный результат подтверждает возможность фотоэффекта.
3. Используем связь энергии и напряжения: Eк max = eUзад, откуда Uзад = Eк max/e.
4. Подставим значения: Uзад = (2,10 · 10⁻¹⁹)/(1,60 · 10⁻¹⁹) ≈ 1,31 В.

Ответ: максимальная кинетическая энергия равна 2,10 · 10⁻¹⁹ Дж, задерживающее напряжение — примерно 1,31 В.

Типичные ошибки

• Считать, что энергия фотона зависит от интенсивности света. Так путают энергию одного фотона с общим потоком энергии: яркий свет обычно содержит больше фотонов, но каждый фотон при прежней частоте имеет ту же энергию. Проверьте себя по формуле E = hν — интенсивности в ней нет.

• Путать работу выхода с кинетической энергией электрона. Это разные части энергии: одна нужна для выхода из вещества, другая остаётся у электрона в движении. Проверка — уравнение hν = Aвых + Eк: эти величины складываются, а не обозначают одно и то же.

• Считать, что достаточно сделать свет ярче, чтобы фотоэффект возник при любой частоте. Такая мысль появляется из-за смешения числа фотонов с энергией каждого из них. Проверьте условие hν ≥ Aвых: если оно не выполнено, увеличить интенсивность недостаточно.

• Подставлять длину волны прямо в формулу E = hν. В ней нужна частота, поэтому прежде следует воспользоваться связью ν = c/λ и получить E = hc/λ. Для проверки единиц убедитесь, что λ выражена в метрах, а ответ получен в джоулях.

Связь с другими темами

Для понимания квантов нужны знакомые понятия: частота, длина волны, скорость света, энергия и закон её сохранения. Они помогают перейти от описания световой волны к расчётам энергии фотона и фотоэффекта. Квантовые представления затем используются при изучении строения атома, спектров, лазеров и ядерной физики. В технике они объясняют работу фотодиодов, солнечных батарей и других оптоэлектронных приборов.

Что запомнить

• Энергия излучения передаётся и поглощается отдельными порциями — квантами.
• Энергия фотона определяется формулой E = hν = hc/λ.
• Фотоэффект — вырывание электронов из вещества светом.
• Для возникновения фотоэффекта частота света должна быть не меньше пороговой.
• Часть энергии фотона расходуется на работу выхода, остальная переходит в кинетическую энергию электрона.
• Интенсивность света влияет главным образом на число выбитых электронов, а частота — на энергию каждого фотона.
• Свет проявляет как волновые, так и корпускулярные свойства.