Лабораторная работа 3. Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от длины нити

Определения и обозначения

Математический маятник — модель груза, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити. Реальный маятник можно считать такой моделью, если масса нити мала по сравнению с массой груза, нить почти не растягивается, а сопротивлением воздуха и размерами груза можно пренебречь. Такая модель помогает изучать зависимость колебаний от длины без лишних влияющих факторов.

Период колебаний T — время одного полного колебания. Полным считается движение из исходного положения с возвращением в него после прохождения обоих крайних положений. В опыте удобнее засекать сразу несколько колебаний, потому что ошибка реакции при запуске и остановке секундомера тогда меньше влияет на найденный период.

Длина маятника l — расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза. Для шарика центр тяжести расположен примерно в его геометрическом центре, поэтому измеряют расстояние до середины шарика, а не до его верхнего или нижнего края. Именно длину l изменяют в лабораторной работе и сопоставляют с периодом T.

Амплитуда колебаний — наибольшее отклонение груза от положения равновесия. При сравнении опытов амплитуду делают небольшой и стараются сохранять одинаковой, поскольку слишком большое или различное отклонение может изменить условия движения. Тогда изменение периода можно связывать прежде всего с длиной нити.

Как это устроено

Для установки нужны штатив, нить, груз и секундомер. Нить закрепляют на штативе, а груз подвешивают так, чтобы он мог свободно качаться и не задевал окружающие предметы. Длину l измеряют линейкой от точки подвеса до центра груза, поэтому при шарике к длине нити добавляют расстояние до его середины, а не ограничиваются видимой нитью.

Груз отводят от положения равновесия на небольшой угол и отпускают без толчка. Небольшое отклонение нужно для того, чтобы движение оставалось близким к колебаниям математического маятника, а начальный толчок не сообщал грузу лишнюю скорость. Каждый запуск выполняют одинаково: груз отпускают из покоя и не подталкивают рукой.

После запуска считают полные колебания и одновременно измеряют их общее время t. Удобно выбрать, например, 10 или 20 колебаний: начало и конец отсчёта должны соответствовать одному и тому же направлению движения через исходное положение. Затем период вычисляют по формуле T = t/N, где N — число полных колебаний, а не число проходов через середину.

Чтобы исследовать именно влияние длины, в разных опытах меняют только l. Массу груза, амплитуду, способ запуска и число отсчитываемых колебаний по возможности сохраняют одинаковыми, потому что иначе несколько причин будут действовать одновременно. Для каждой длины измерение полезно повторить, а затем сравнить средние или близкие значения периода и оценить разброс результатов.

Результаты исследования зависимости периода от длины маятника

В каждую строку заносят данные одного опыта: длину, число колебаний и засечённое время. После этого вычисляют период делением t на N и записывают, стал ли он больше или меньше при изменении длины. Таблица помогает сравнивать результаты без смешивания разных величин и замечать случайные отклонения.

Разбор задач

Маятник совершил 20 колебаний за 30 с. Найдите его период.

Период не равен времени всех колебаний, поэтому общее время нужно распределить поровну между ними. Число колебаний уже дано, значит, дополнительных измерений или переводов единиц не требуется.

1. Записываем формулу: T = t/N.
2. Подставляем значения: T = 30 с / 20.
3. Выполняем деление: T = 1,5 с.

Ответ: период маятника равен 1,5 с.

За одинаковое время один маятник совершил 12 колебаний, а другой — 16. У какого маятника период больше?

Период показывает, сколько времени приходится на одно колебание. При одинаковом общем времени маятник, сделавший меньше колебаний, тратит больше времени на каждое из них.

1. Для первого маятника число колебаний равно 12, для второго — 16.
2. Так как общее время одинаково, сравниваем значения t/N: меньшему N соответствует больший результат.
3. Число 12 меньше 16, поэтому период первого маятника больше.

Ответ: больший период у маятника, совершившего 12 колебаний.

Для двух длин маятника измерены времена 10 колебаний: при 0,25 м — 10 с, при 1,00 м — 20 с. Вычислите периоды и сформулируйте вывод о влиянии длины.

В обоих опытах число колебаний одинаково, поэтому периоды можно найти одной и той же формулой. Сначала вычислим каждый период отдельно, затем сравним результаты и длины, не подменяя длину временем.

1. Для l = 0,25 м: T₁ = 10 с / 10 = 1 с.
2. Для l = 1,00 м: T₂ = 20 с / 10 = 2 с.
3. Сравниваем: длина увеличилась в 4 раза, а период по данным опыта увеличился с 1 до 2 с.

Ответ: при длине 0,25 м период равен 1 с, при длине 1,00 м — 2 с. Следовательно, с увеличением длины маятника его период возрастает.

Типичные ошибки

Ошибка — считать одним колебанием путь от крайнего положения до равновесия. Так принимают за период только часть движения, хотя полное колебание заканчивается возвращением в исходное состояние. Проверьте себя: начальная и конечная точки отсчёта должны совпадать, а груз должен пройти оба крайних положения.

Ошибка — измерять длину до края груза, а не до его центра тяжести. Так возникает систематическая ошибка, которая повторяется во всех измерениях и может исказить сравнение. Перед опытом отметьте центр шарика или прибавьте его радиус к длине нити.

Ошибка — засекать время только одного колебания. Человек не мгновенно нажимает кнопки секундомера, поэтому такая задержка заметно меняет результат. Измеряйте время нескольких полных колебаний и делите его на их число.

Ошибка — одновременно менять длину нити и амплитуду. Тогда изменение периода нельзя уверенно связать с длиной, поскольку условия опыта изменились сразу по двум причинам. Проверка проста: составьте список постоянных условий и меняйте между опытами только l.

Связь с другими темами

До работы нужно знать, что такое колебательное движение, положение равновесия и полное колебание. Также пригодятся умение пользоваться секундомером, выполнять деление величин и записывать результаты в единицах СИ. Эти навыки позволяют правильно провести измерение и оформить таблицу.

Результаты лабораторной работы пригодятся при изучении математической модели колебаний и движения под действием силы тяжести. Они показывают, как экспериментально проверяют физическую закономерность и оценивают погрешность измерений. Такие приёмы встречаются и в других лабораторных работах.

Что запомнить

• Период — время одного полного колебания.
• Период находят делением времени нескольких колебаний на их число.
• Длину маятника измеряют от точки подвеса до центра тяжести груза.
• При исследовании зависимости изменяют длину, сохраняя прочие условия по возможности неизменными.
• Для надёжности измеряют время многих колебаний и повторяют опыт.
• При увеличении длины маятника его период возрастает.