Лабораторная работа 6. Определение длины световой волны с помощью дифракционной решётки

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — оптическое устройство с большим числом одинаковых параллельных щелей. Свет, проходящий через эти щели, распространяется в разных направлениях и взаимодействует с соседними волнами. Поэтому решётку характеризуют её периодом, а не только общим числом щелей.

Период решётки d — расстояние между серединами двух соседних щелей. Если на отрезке единичной длины расположено N штрихов, то d = 1/N. Эта величина нужна, чтобы связать строение решётки с направлением светлых максимумов.

Дифракционный максимум — направление, в котором световые волны от разных щелей усиливают друг друга. Порядок максимума обозначают буквой k: для центрального максимума k = 0, для ближайших боковых k = 1, далее k = 2 и так далее. Номер k показывает, насколько велик дополнительный ход волн.

Длина световой волны λ — расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний. Именно её определяют в лабораторной работе. В СИ длину волны измеряют в метрах, хотя для света часто используют нанометры: 1 нм = 10⁻⁹ м.

Как это устроено

Когда свет проходит через одну щель, он немного отклоняется от прямолинейного направления: это явление называют дифракцией. У решётки щелей много, поэтому от каждой из них распространяется своя волна. В некоторых направлениях гребни волн совпадают с гребнями других волн, и свет становится ярче.

В других направлениях волны приходят в противофазе и почти гасят друг друга, поэтому экран остаётся тёмным. В результате напротив решётки виден яркий центральный максимум, а по обе стороны от него — боковые максимумы. Их расположение определяется не случайно, а разностью хода волн от соседних щелей.

Для соседних щелей эта разность хода равна d·sinφ. Здесь d — период решётки, а φ — угол между направлением на данный максимум и прямым направлением от решётки к центру экрана. Если разность хода равна целому числу длин волн, волны усиливаются: d·sinφ = k·λ. Чем больше k, тем дальше максимум от центра.

Установка включает источник света, дифракционную решётку, экран и измерительную шкалу. Источник направляет свет на решётку, решётка разделяет его по направлениям, а экран показывает положения максимумов. Расстояние L измеряют от решётки до экрана, причём его отсчитывают вдоль центральной линии.

На экране измеряют смещение x бокового максимума относительно центрального, а не расстояние от решётки до самого пятна. Из прямоугольного треугольника получают tgφ = x/L. Затем находят угол φ или вычисляют sinφ и подставляют его в λ = d·sinφ/k. Для разных порядков измерения повторяют, после чего сравнивают результаты и находят среднее значение.

Величины и этапы определения длины световой волны

Сначала по числу штрихов находят d и переводят все расстояния в метры. Затем для каждого максимума записывают k и x, вычисляют угол, а после этого — λ. Таблица помогает не перепутать измеряемые величины с теми, которые получают расчётом.

Разбор задач

Задача 1

Решётка с известным периодом d находится на расстоянии L = 1,5 м от экрана. Максимум первого порядка удалён от центрального на x = 12 см. Численное значение d в условии не указано, поэтому результат выразим через известный период решётки.

1. Переводим смещение: x = 0,12 м.
2. Находим угол по геометрии: tgφ = x/L = 0,12/1,5 = 0,08. Значит, φ = arctg 0,08, а sinφ примерно равен 0,0797.
3. Для k = 1 применяем условие максимума: λ = d·sinφ/k = 0,0797d.

Ответ: λ ≈ 0,0797d. Для численного ответа нужно подставить указанное в паспорте решётки значение d в метрах.

Задача 2

Для зелёного света измерены положения максимумов первого и второго порядков. Пусть их смещения равны x₁ и x₂, расстояние до экрана равно L, а период решётки — d. Для каждого порядка нужно провести отдельный расчёт, потому что формула содержит k.

1. Для первого порядка вычисляем φ₁ = arctg(x₁/L), затем λ₁ = d·sinφ₁.
2. Для второго порядка вычисляем φ₂ = arctg(x₂/L), затем λ₂ = d·sinφ₂/2.
3. Сравниваем λ₁ и λ₂ и находим среднее: λср = (λ₁ + λ₂)/2.

Ответ: два способа должны дать близкие значения. Различие объясняется погрешностями измерения положения пятен и расстояния до экрана.

Задача 3

По нескольким измерениям нужно определить длину волны красного света и оценить точность опыта. Для каждого максимума записывают L, x и k, а период d заранее находят по числу штрихов решётки.

1. Для каждой строки таблицы вычисляем φ = arctg(x/L) и λᵢ = d·sinφ/k.
2. Находим среднее значение: λср = (λ₁ + λ₂ + … + λₙ)/n.
3. Оцениваем абсолютную погрешность по разбросу результатов, например Δλ ≈ (λmax − λmin)/2, и записываем λ = λср ± Δλ.
4. Проверяем, что увеличение x и порядка приводит к ожидаемому смещению максимума, а все единицы согласованы.

Ответ: итогом является среднее значение длины волны с указанием абсолютной погрешности. Основные причины расхождений — неточное измерение x и L, размытость светлых полос и ошибка в определении периода решётки.

Типичные ошибки

Период решётки путают с числом штрихов на единицу длины. Эти величины обратны друг другу: при большем числе штрихов период меньше. Проверка проста: вычислите d = 1/N и убедитесь, что результат имеет единицу длины.

Иногда в формулу подставляют расстояние от решётки до бокового максимума. Но это расстояние почти совпадает с L и не показывает, насколько пятно отклонилось от центра. Нужно измерять именно x — расстояние между центральным и боковым максимумами.

Сантиметры для x или L оставляют рядом с периодом, выраженным в метрах. Из-за этого ответ меняется в 100 или 1000 раз. Перед расчётом переведите все длины в метры либо используйте одну и ту же единицу для всех величин.

Для любого бокового пятна используют формулу d·sinφ = λ и забывают про порядок. Это верно только для k = 1, а вообще нужно писать d·sinφ = k·λ. Проверьте себя: у каждого измеренного максимума должен быть указан свой номер k.

Связь с другими темами

Перед лабораторной работой нужны представления о прямолинейном распространении света, интерференции и дифракции. Также пригодятся тригонометрические соотношения прямоугольного треугольника и умение переводить единицы длины.

Метод связан с последующим изучением спектров и спектрального анализа. По длинам волн можно исследовать состав и строение вещества, поскольку разные источники излучают характерные наборы цветов.

Дифракционные решётки применяют в спектрометрах и других оптических приборах. Они позволяют разделять свет по длинам волн и измерять характеристики излучения точнее, чем при наблюдении цвета глазом.

Что запомнить

• Дифракционная решётка состоит из большого числа параллельных щелей с одинаковым периодом d.
• Главные максимумы возникают при выполнении условия d·sinφ = k·λ.
• Центральный максимум имеет порядок k = 0.
• Угол дифракции находят по измеренным x и L: tgφ = x/L.
• Для определения длины волны используют формулу λ = d·sinφ/k.
• Период решётки и все расстояния перед вычислениями нужно выразить в согласованных единицах.
• Точность результата повышают измерения для нескольких максимумов и усреднение.