"Физика. Колебания и волны (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Стоячая волна возникает, когда встречные волны одинаковой частоты и амплитуды накладываются друг на друга. В результате одни точки среды всё время остаются неподвижными, а другие колеблются особенно сильно. Такое распределение колебаний помогает понять, почему струна или воздушный столб имеют определённые собственные частоты: возможны только те формы стоячей волны, которые согласуются с границами системы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Стоячая волна — результат наложения встречных волн одинаковой частоты и амплитуды, при котором возникают неподвижные узлы и пучности. В отличие от бегущей волны, её рисунок не перемещается вдоль среды. Это понятие нужно, чтобы описывать колебания струны, воздушного столба и других систем, ограниченных концами.
Узел стоячей волны — точка среды, которая постоянно сохраняет нулевое смещение. В узле встречные колебания приходят в противофазе и взаимно компенсируются. Положение узлов позволяет определить, где тело практически не отклоняется при данной форме колебаний.
Пучность стоячей волны — точка, колеблющаяся с максимальной амплитудой. В пучности смещения от встречных волн складываются, поэтому колебание наиболее заметно. Сравнивая узлы и пучности, можно увидеть, как амплитуда распределена вдоль тела.
Свободные колебания тела — колебания после начального возбуждения, которые продолжаются с собственной частотой, определяемой свойствами тела и условиями его закрепления. Например, оттянутая и отпущенная струна колеблется без регулярных повторных толчков. Это определение связывает стоячую волну с естественным режимом колебаний самого тела.
Падающая волна отражается от границы среды, и отражённая волна движется навстречу падающей. В каждой точке смещения складываются по принципу суперпозиции: результирующее отклонение равно сумме отклонений от обеих волн. Если условия на границе позволяют встречным волнам иметь одинаковые частоту и амплитуду, их сумма образует устойчивую картину стоячей волны.
Встречные волны в разных точках приходят с разностью фаз, то есть колеблются с неодинаковым временным сдвигом. Там, где фазы противоположны, смещения компенсируются при любом времени — получается узел; там, где они совпадают, смещения усиливаются — получается пучность. Разность фаз меняется с координатой, поэтому участки усиления и гашения чередуются вдоль среды.
Узлы и пучности неподвижны потому, что их положение задаётся этой разностью фаз, а не движением отдельных частиц. Частицы среды между узлами всё же совершают колебания: каждая движется около своего положения равновесия с амплитудой, зависящей от координаты. В узле амплитуда всегда нулевая, а в пучности она наибольшая.
Для соседних узлов фазовое условие повторяется после изменения координаты на λ/2; такое же расстояние получается между соседними пучностями. Узел и ближайшая пучность соответствуют переходу от полного гашения к максимальному усилению, то есть изменению фазы на π/2. Поскольку фазе π соответствует половина волны, фазе π/2 соответствует четверть: расстояние между узлом и пучностью равно λ/4.
У тела с границами возможны не любые длины волн: форма колебаний должна удовлетворять условиям закрепления. У струны с двумя закреплёнными концами на концах должны быть узлы, поэтому на длине L укладывается целое число полуволн: L = nλ/2. Для каждого целого n возникает своя форма стоячей волны и частота ν = v/λ; это собственная форма свободных колебаний тела. При других границах условие меняется, поэтому меняются и допустимые частоты.
| Признак | Стоячая волна | Свободные колебания тела |
|---|---|---|
| Причина возникновения | Наложение встречных волн | Начальное отклонение или толчок без дальнейшего периодического воздействия |
| Распределение амплитуды | Неподвижные узлы и пучности | Определённая форма колебаний, зависящая от закрепления тела |
| Частота | Частота встречных волн | Собственная частота тела |
| Условие существования | Согласование длины волны с границами среды | Граничные условия тела |
| Передача энергии | Энергия колеблется между участками, но в среднем не переносится вдоль волны | Энергия переходит между кинетической и потенциальной формами |
Сравнивайте строки по одному признаку: так видно, что стоячая волна описывает распределение колебаний, а свободные колебания — режим движения тела после начального воздействия. В конкретной системе эти понятия связаны: допустимая стоячая волна задаёт форму свободного колебания. Проверяйте также, какие именно граничные условия указаны в задаче.
Дана волна y = 0,04 cos(πx/0,5) cos(20πt) на участке 0 ≤ x ≤ 1 м. Нужно найти расстояние между соседними узлами и координаты всех узлов на участке. Узел не смещается ни в один момент времени, поэтому его положение определяется пространственным множителем, а не множителем, зависящим от времени.
Ответ: расстояние между соседними узлами — 0,5 м; координаты узлов — 0,25 м и 0,75 м.
Струна длиной L = 1,2 м закреплена с обоих концов, скорость волн v = 120 м/с. Нужно найти частоты основного тона и третьей гармоники. Закреплённые концы являются узлами, поэтому длина струны содержит целое число полуволн; номер гармоники обозначим n.
Ответ: частота основного тона — 50 Гц, третьей гармоники — 150 Гц. Третья гармоника в три раза выше по частоте, потому что при той же длине струны на ней укладываются три полуволны.
На струне длиной L = 2 м с закреплёнными концами наблюдаются пять пучностей, скорость волны v = 80 м/с. Требуется определить длину волны и частоту. Каждая пучность соответствует одной половине волны между соседними узлами, а концы струны также являются узлами.
Ответ: длина волны равна 0,8 м, частота — 100 Гц. Проверка: пять полуволн длиной 0,4 м каждая занимают всю струну длиной 2 м.
Стоячую волну иногда считают обычной волной, которая переносит энергию в одном направлении. Такое впечатление возникает из-за похожего колебательного рисунка, но у стоячей волны узлы и пучности остаются на местах. Проверка: спросите себя, перемещается ли профиль вдоль среды и есть ли средний перенос энергии.
Узел путают с пучностью и приписывают им одинаковую амплитуду. Путаница появляется потому, что обе точки легко заметить на рисунке волны, хотя их свойства противоположны. Проверьте определение: в узле амплитуда равна нулю, а в пучности она максимальна.
Расстояние между соседними узлами принимают за длину волны. Ошибку допускают, если считают только промежуток на рисунке и не учитывают, что соседние узлы разделены половиной волны. Для самопроверки используйте λ/2 между узлами и пучностями одного типа, а λ/4 — между узлом и ближайшей пучностью.
Условие L = nλ/2 применяют без проверки способа закрепления тела. Оно подходит для струны с узлами на обоих концах, но при свободном конце граничные условия и возможные формы другие. Перед вычислениями отметьте, где должны быть узлы и пучности, затем проверьте, согласуется ли выбранное условие с концами системы.
Для изучения стоячих волн нужны принцип суперпозиции, отражение волн, а также понятия длины волны, частоты и скорости распространения. Понимание узлов и пучностей помогает объяснить собственные частоты, резонанс и гармоники струн и воздушных столбов. Эти же представления применяют, разбирая звучание музыкальных инструментов и распределение колебаний в упругих телах.
Почему частицы среды продолжают колебаться, если узлы стоячей волны неподвижны?
Неподвижен не весь участок среды, а только частицы в узлах: в них колебания двух встречных волн взаимно уничтожаются. Частицы между узлами смещаются, причём их амплитуда зависит от положения и максимальна в пучностях.
Чем стоячая волна отличается от бегущей?
В бегущей волне картина смещается вдоль среды и переносит энергию в направлении распространения. У стоячей волны узлы и пучности остаются на месте, а средний перенос энергии вдоль среды отсутствует.
Почему между узлом и пучностью получается именно четверть длины волны?
Узел соответствует точке, где встречные волны гасят друг друга, а ближайшая пучность — точке их согласованного сложения. Между такими условиями фаза меняется на π/2, что соответствует расстоянию λ/4.
Как по числу пучностей определить номер гармоники?
Для струны, закреплённой с обоих концов, число пучностей равно номеру гармоники n. Каждая пучность занимает половину длины волны, поэтому L = nλ/2.
Почему изменение длины или способа закрепления тела меняет его собственные частоты?
Длина и закрепление задают граничные условия — допустимые смещения на концах тела. Из-за них подходят только определённые формы стоячей волны и длины волн; вместе с ними меняются частоты.
§ 4.7. Стоячие волны как свободные колебания тел
