"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Средний модуль скорости показывает, насколько быстро тело двигалось в среднем за выбранный промежуток времени. Его находят как отношение всего пройденного пути к полному времени движения. В отличие от средней скорости, эта величина не учитывает направление и не зависит от того, возвращалось ли тело назад. Понятие особенно полезно при движении по участкам с разными скоростями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Путь — длина траектории, пройденной телом за рассматриваемый промежуток времени; его обозначают буквой S. Он показывает, сколько всего «дороги» прошло тело, включая участки, на которых оно меняло направление. Именно путь используют для вычисления среднего модуля скорости.
Модуль скорости — скалярная величина, показывающая быстроту движения; его записывают как |v| или просто v. Слово «модуль» означает, что направление движения не учитывается, остаётся только числовое значение скорости. Поэтому модуль скорости не бывает отрицательным.
Средний модуль скорости — отношение всего пройденного пути к затраченному времени: vср = S/Δt. В формулу подставляют не путь одного выбранного участка, а путь за весь рассматриваемый промежуток. Эта величина отвечает на вопрос, с какой постоянной скоростью нужно было бы двигаться всё время, чтобы пройти тот же путь.
Средняя скорость — отношение перемещения к промежутку времени: vср = Δr/Δt. Перемещение соединяет начальное и конечное положения тела и учитывает направление. Поэтому средняя скорость и средний модуль скорости могут иметь разные значения даже для одного движения.
При постоянном модуле скорости тело за время Δt проходит путь S = vΔt. Если разделить это равенство на время, получится vср = S/Δt = v. Поэтому при равномерном движении средний модуль скорости совпадает с постоянным модулем скорости: скорость не менялась, и усреднять фактически нечего.
При переменном движении весь маршрут удобно разделить на участки. Путь тогда складывается: S = S₁ + S₂ + …, а общее время равно сумме длительностей: Δt = t₁ + t₂ + …. Это возможно потому, что участки проходят последовательно, поэтому каждый следующий путь и каждый следующий отрезок времени добавляются к уже пройденным.
После сложения участков средний модуль скорости находят так: vср = (S₁ + S₂ + …)/(t₁ + t₂ + …). Если на участке скорость постоянна, то Sᵢ = vᵢtᵢ, и формула превращается в vср = (v₁t₁ + v₂t₂ + …)/(t₁ + t₂ + …). Значит, более длительный участок влияет на результат сильнее: его скорость учитывается большее число раз во времени.
Из этой формулы видно, почему простое среднее арифметическое скоростей обычно неверно. Оно предполагает, что каждое значение скорости действует одинаковое время, но в реальном движении длительности участков могут различаться. Такое усреднение допустимо лишь тогда, когда t₁ = t₂ = ….
Направление движения влияет на перемещение, но не меняет длину уже пройденной траектории. Поэтому при возвращении тела к месту старта перемещение равно нулю, а полный путь остаётся положительным. Средний модуль скорости в этом случае также положителен, если движение продолжалось не нулевое время.
| Величина | Что делят на промежуток времени | Формула | Что учитывается |
|---|---|---|---|
| Средний модуль скорости | весь пройденный путь S | vср = S/Δt | длина траектории |
| Средняя скорость | перемещение Δr | vср = Δr/Δt | направление и начальное с конечным положения |
Пользуясь таблицей, сначала определите, что требуется найти: характеристику всего маршрута или результат перемещения между началом и концом движения. Затем выберите нужную величину в числителе и только после этого подставляйте время. Если тело меняло направление, особенно внимательно определяйте путь и перемещение: они могут сильно отличаться.
Автомобиль за 2 ч прошёл 120 км. Требуется найти его средний модуль скорости. Движение рассматривается за весь указанный промежуток, поэтому берём полный путь и полное время.
Ответ: средний модуль скорости автомобиля равен 60 км/ч.
Пешеход прошёл 3 км за 1 ч, а затем ещё 2 км за 0,5 ч. Нужно найти средний модуль скорости на всём маршруте, поэтому скорости отдельных частей нельзя усреднить без учёта времени. Сначала объединим весь путь и всё время.
Ответ: средний модуль скорости пешехода примерно равен 3,33 км/ч. Простое среднее скоростей участков дало бы другой результат, потому что первый участок длился вдвое дольше второго.
Тело движется из A в B, находящуюся в 400 м от A, а затем возвращается в A. На путь туда затрачено 50 с, обратно — 70 с. Здесь необходимо найти две разные величины: средний модуль скорости по пути и среднюю скорость по перемещению.
Ответ: средний модуль скорости примерно равен 6,67 м/с, средняя скорость равна 0 м/с. Различие возникло из-за того, что путь учитывает весь маршрут, а перемещение — только положение в начале и конце.
Подмена пути перемещением. Ошибку допускают, когда видят движение между двумя точками и используют только расстояние между ними. Проверьте себя: если тело меняло направление, сложите длины всех участков маршрута.
Сложение скоростей с делением на число участков. Такое действие кажется естественным, но оно не учитывает различную длительность движения. Проверьте равенство времён: простое среднее допустимо только при одинаковых временах на всех участках.
Деление пути одного участка на общее время. Иногда в числитель подставляют первые известные данные, забывая продолжение движения. Сверьте границы: путь и время в формуле должны описывать один и тот же полный промежуток.
Представление среднего модуля скорости как векторной величины. Модуль скорости показывает только быстроту, поэтому у него нет направления и знака. Для проверки спросите себя, использовали ли вы путь, а не направленное перемещение.
Для этой темы нужны понятия пути, перемещения, времени и модуля скорости. Путь описывает длину маршрута, перемещение — изменение положения, а время задаёт длительность процесса. Без различения этих величин легко выбрать неправильную формулу.
Понятие среднего модуля скорости пригодится при решении задач о движении по участкам и при сравнении пути с перемещением. Оно позволяет описывать сложный маршрут одним средним значением, не теряя информацию о полном расстоянии.
Средний модуль скорости связан с графиком зависимости скорости от времени: по нему можно анализировать изменение скорости и определять пройденный путь. Эта идея подводит к рассмотрению движения с непрерывно меняющейся скоростью.
Чем средний модуль скорости отличается от средней скорости?
Средний модуль скорости равен отношению полного пути к полному времени и является скаляром. Средняя скорость определяется отношением перемещения ко времени, поэтому учитывает направление движения.
Почему при возвращении в начальную точку средний модуль скорости не равен нулю?
При возвращении перемещение становится равным нулю, но тело всё равно проходит некоторый путь. Поэтому отношение полного пути к времени остаётся положительным.
Можно ли найти средний модуль скорости как среднее арифметическое скоростей участков?
Только если все участки пройдены за одинаковое время. При разных длительностях нужно сложить пути и разделить их сумму на полное время.
Как найти средний модуль скорости, если скорость меняется во время движения?
Для движения по отдельным участкам складывают пути и времена, а затем используют формулу vср = S/Δt. При непрерывном изменении скорости путь за весь промежуток можно определить по графику скорости или другими известными способами.
В каких единицах измеряют средний модуль скорости?
В СИ его измеряют в метрах в секунду (м/с). Также используют километры в час, но перед расчётом все величины нужно выразить в согласованных единицах.
§ 1.13. Средний модуль скорости произвольного движения
