§ 1.26. Равномерное движение точки по окружности. Центростремительное ускорение

Определения и обозначения

Равномерное движение точки по окружности — движение по окружности с постоянным модулем скорости. Вектор скорости при этом меняется, потому что его направление в каждой точке окружности новое. Поэтому равномерность здесь относится только к быстроте движения, а не ко всему вектору скорости.

Период обращения T — время одного полного оборота точки. Период измеряется в секундах и определяется как T = t/N, где t — время движения, а N — число оборотов. Он показывает, сколько времени требуется для повторения движения.

Частота обращения ν — число оборотов за единицу времени. Единица частоты в СИ — герц (Гц), один герц означает один оборот в секунду. Частота и период взаимно обратны: ν = 1/T.

Центростремительное ускорение — ускорение при движении по окружности, направленное к её центру. Оно не изменяет модуль скорости, а непрерывно поворачивает её вектор. Благодаря этому точка не уходит по прямой, а остаётся на окружности.

Как это устроено

За равные промежутки времени точка проходит равные дуги окружности, поэтому модуль её скорости постоянен. Однако касательная к окружности в каждой точке имеет новое направление, и скорость, направленная по касательной, тоже поворачивается. Значит, движение не является равномерным прямолинейным и не является равноускоренным: ускорение меняет направление вместе с точкой.

За один период точка проходит всю длину окружности, равную 2πR. Поэтому линейная скорость находится делением этого пути на период: v = 2πR/T. Так как ν = 1/T, ту же зависимость можно записать как v = 2πRν.

Угловая скорость ω показывает, какой угол поворота радиуса происходит за единицу времени. За период радиус поворачивается на 2π радиан, поэтому ω = 2π/T = 2πν. Поскольку дуга связана с углом формулой l = Rφ, линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωR.

Рассмотрим малый промежуток времени Δt: за него скорость изменяется от одного направления к немного отличающемуся. Вектор изменения скорости Δv направлен внутрь окружности, потому что новая и прежняя скорости имеют одинаковую длину, но их концы смещаются в сторону центра. При стремлении Δt к нулю ускорение становится направленным точно к центру, а его направление всё время поворачивается вместе с точкой.

Модуль центростремительного ускорения равен aцс = v²/R. Подставляя v = ωR, получаем aцс = ω²R. Значит, при увеличении скорости ускорение растёт как квадрат скорости, а при неизменной скорости и увеличении радиуса уменьшается.

Величины, характеризующие равномерное движение по окружности

Таблица помогает выбрать формулу по известным величинам. Сначала определите, что дано в условии, а затем проверьте единицы измерения и направление векторных величин.

Разбор задач

Задача 1

Точка совершает 120 оборотов за 2 минуты. Найдём период и частоту обращения.

1. Переведём время: t = 2 мин = 120 с.
2. Частота равна числу оборотов за время: ν = N/t = 120/120 = 1 Гц.
3. Период — время одного оборота: T = t/N = 120/120 = 1 с.
4. Проверим результат: T = 1/ν = 1 с, поэтому вычисления согласуются.

Ответ: ν = 1 Гц, T = 1 с.

Задача 2

Точка движется по окружности радиусом 0,5 м с периодом 2 с. Найдём линейную скорость и центростремительное ускорение.

1. Длина окружности равна 2πR = 2π · 0,5 = π м.
2. Скорость равна пути за один период, делённому на время: v = 2πR/T = π/2 ≈ 1,57 м/с.
3. Используем формулу ускорения: aцс = v²/R.
4. Получаем aцс ≈ 1,57²/0,5 ≈ 4,93 м/с².

Ответ: v ≈ 1,57 м/с, aцс ≈ 4,93 м/с²; ускорение направлено к центру.

Задача 3

Точка движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 6 м/с. Как изменится ускорение, если скорость увеличить до 12 м/с?

1. Для первого режима a₁ = v₁²/R = 6²/2 = 18 м/с².
2. Для второго режима a₂ = v₂²/R = 12²/2 = 72 м/с².
3. Отношение ускорений равно a₂/a₁ = 72/18 = 4.
4. Это объясняется квадратом скорости в формуле: увеличение скорости в 2 раза увеличивает ускорение в 4 раза.

Ответ: ускорение возрастёт с 18 до 72 м/с², то есть в 4 раза. В обоих случаях оно направлено к центру.

Типичные ошибки

Считать скорость постоянной векторной величиной. Часто путают постоянный модуль с постоянным вектором. Проверьте себя: если направление скорости меняется, вектор уже не постоянен.

Направлять центростремительное ускорение по касательной. Касательная задаёт направление скорости, поэтому их смешивают. Ускорение нужно направлять к центру, а скорость — перпендикулярно ему.

Путать период и частоту. Период — время одного оборота, частота — число оборотов за секунду, поэтому они не равны. Проверка проста: произведение νT должно быть равно 1.

Подставлять диаметр вместо радиуса или забывать квадрат скорости. Диаметр вдвое больше радиуса, а отсутствие квадрата меняет зависимость результата. Выпишите радиус отдельно и проверьте размерность формулы v²/R: она должна дать м/с².

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о векторе скорости и ускорения, равномерном прямолинейном движении, длине окружности и переводе величин в единицы СИ. Эти знания позволяют объяснить изменение направления скорости и вывести основные формулы.

Центростремительное ускорение используется при изучении движения планет и спутников, вращения твёрдого тела и движения заряженных частиц в магнитном поле. В каждом случае важно установить, какая сила или взаимодействие удерживает тело на криволинейной траектории.

Что запомнить

• При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но её направление меняется.
• Период — время одного оборота; частота — число оборотов за секунду.
• Частота и период связаны формулой ν = 1/T.
• Линейная скорость направлена по касательной к окружности.
• Центростремительное ускорение направлено к центру окружности.
• Модуль центростремительного ускорения равен v²/R и ω²R.