§ 24 Величины, характеризующие колебательное движение

Определения и обозначения

Амплитуда колебаний — наибольшее по модулю отклонение тела от положения равновесия. Её обозначают буквой A, а в СИ измеряют в метрах. Амплитуда нужна, чтобы оценить размах движения в одну сторону.

Период колебаний — время одного полного колебания. Для него используют обозначение T, единица СИ — секунда. Эта величина показывает, насколько быстро повторяется одно и то же движение.

Частота колебаний — число полных колебаний за единицу времени. Частоту обозначают греческой буквой ν, а измеряют в герцах: 1 Гц — одно колебание за секунду. Она помогает узнать, сколько повторений происходит за каждую секунду.

Число колебаний — количество полных повторений движения за выбранный промежуток времени. Его обозначают буквой N, специальной единицы измерения у этой величины нет. Зная N и время t, можно вычислить период или частоту.

Как это устроено

Колебательное движение повторяется около положения равновесия — точки или состояния, в котором тело может находиться без смещения в одну из сторон. Поэтому сначала выбирают это положение за нулевое, а отклонения отсчитывают относительно него. Без такого исходного ориентира нельзя однозначно определить амплитуду и положение тела.

Амплитуду находят по максимальному отклонению от положения равновесия, потому что именно оно показывает, насколько далеко тело уходит в одну сторону. Расстояние между двумя крайними точками включает путь от одного края до равновесия и от равновесия до другого края. Поэтому оно равно 2A, а не A.

Полное колебание заканчивается не при любом возвращении в исходную точку, а при возвращении в то же положение с тем же направлением движения. При первом прохождении через положение равновесия тело ещё продолжает движение к крайней точке. Учитывание направления позволяет отличить начало нового цикла от промежуточного момента.

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то время одного колебания получают делением всего времени на их число: T = t/N. Частота, наоборот, показывает, сколько колебаний приходится на единицу времени, поэтому ν = N/t. Из этих выражений следует обратная связь ν = 1/T: чем больше период, тем меньше частота.

График положения тела от времени показывает, как отклонение меняется и повторяется. Максимальная высота графика относительно нулевого уровня задаёт амплитуду, а промежуток времени между одинаковыми состояниями, например соседними максимумами, задаёт период. По графику также можно определить число циклов на выбранном участке времени.

Величины, характеризующие колебательное движение

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти. Затем выберите формулу из последнего столбца и проверьте единицы: время должно быть выражено в секундах, если ответ нужен в герцах.

Разбор задач

Задача 1

Маятник совершил 20 полных колебаний за 40 с. Требуется найти период и частоту. В условии известны число колебаний N = 20 и общее время t = 40 с.

1. Находим период одного колебания: T = t/N = 40 с/20 = 2 с.
2. Находим частоту: ν = N/t = 20/40 с = 0,5 Гц.
3. Проверяем связь величин: 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц, результат совпадает.

Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц.

Задача 2

Тело колеблется с частотой 4 Гц. Нужно узнать число колебаний за 15 с и период. Частота уже показывает, что каждую секунду происходит четыре полных колебания.

1. Число колебаний находим умножением частоты на время: N = νt = 4 Гц · 15 с = 60.
2. Период является величиной, обратной частоте: T = 1/ν = 1/4 с = 0,25 с.
3. Проверяем: за 15 с при периоде 0,25 с получится 15/0,25 = 60 колебаний.

Ответ: N = 60 колебаний, T = 0,25 с.

Задача 3

По графику максимальное отклонение равно 6 см, а между соседними максимумами проходит 0,8 с. Требуется найти амплитуду, период и число полных колебаний за 12 с.

1. Максимальное отклонение непосредственно даёт амплитуду: A = 6 см.
2. Соседние максимумы соответствуют одинаковому состоянию движения, поэтому их промежуток равен периоду: T = 0,8 с.
3. Число колебаний: N = t/T = 12 с/0,8 с = 15.

Ответ: A = 6 см, T = 0,8 с, N = 15 колебаний.

Типичные ошибки

Расстояние между крайними положениями принимают за амплитуду. Так происходит потому, что обе величины связаны с крайними точками, но расстояние между ними включает движение через положение равновесия и равно 2A. Для проверки разделите найденное расстояние между краями на два.

Любое возвращение тела в положение равновесия считают полным колебанием. Ошибка возникает, если не учитывать направление движения: равновесие тело проходит дважды за цикл. Спросите себя, совпало ли направление с исходным.

Период путают с частотой. Причина — обе величины описывают быстроту повторения, но период измеряется в секундах, а частота — в герцах и равна обратной величине периода. Проверьте ответ формулой ν = 1/T.

Частоту вычисляют как t/N вместо N/t. Так меняют местами время и число повторений, хотя частота означает число колебаний за единицу времени. Если результат имеет единицу секунды, получен период, а не частота.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия положения равновесия, расстояния и времени. Положение равновесия задаёт исходный уровень, расстояние помогает измерить амплитуду, а время — определить период и частоту. Без этих базовых представлений трудно читать графики колебаний.

Период и частота используются при изучении маятников и пружинных колебаний. Те же характеристики описывают звуковые колебания и волны: частота связана с высотой звука, а период — с длительностью повторения движения. Поэтому формулы T = t/N и ν = N/t встречаются в разных разделах физики.

Что запомнить

• Колебания повторяются около положения равновесия.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Одно полное колебание завершается возвращением в исходное состояние движения.
• Период — время одного полного колебания.
• Частота — число колебаний за единицу времени.
• T = t/N, ν = N/t.
• ν = 1/T.