§ 57 Энергия связи. Дефект массы

Определения и обозначения

Дефект массы — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося ядра: Δm. Обычно его измеряют в килограммах или атомных единицах массы. Он показывает, насколько масса связанного ядра отличается от массы тех же частиц по отдельности.

Энергия связи — энергия, необходимая для полного разделения ядра на отдельные протоны и нейтроны; её обозначают E_св. Она равна энергии, которая выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов. Поэтому энергия связи характеризует, насколько трудно разрушить ядро.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: E_уд = E_св/A. Здесь A — массовое число, то есть общее число протонов и нейтронов. Эта величина нужна для сравнения ядер с разным числом нуклонов.

Энергия покоя — энергия, соответствующая массе тела: E = mc². Масса и энергия оказываются двумя связанными характеристиками одной физической системы. Именно поэтому уменьшение массы ядра можно рассматривать как выделение энергии.

Как это устроено

Свободные протоны и нейтроны при сближении начинают взаимодействовать ядерными силами. В устойчивом ядре частицы находятся в связанном состоянии с меньшей энергией, чем до объединения. Избыток энергии выделяется, поэтому масса готового ядра оказывается меньше суммы исходных масс.

Дефект массы не означает потерю вещества из-за неточности измерений. Это физическая разность, соответствующая энергии связи ядра: E_св = Δmc². Коэффициент c² очень велик, поэтому даже небольшой дефект массы даёт заметную энергию.

Пусть ядро содержит Z протонов и A − Z нейтронов. Если известны массы протона m_p, нейтрона m_n и ядра m_ядра, дефект находят так: Δm = Zm_p + (A − Z)m_n − m_ядра. Сначала считают массу свободных нуклонов, затем вычитают массу связанного ядра.

В таблицах часто приводят не массы ядер, а массы нейтральных атомов. Тогда число электронов слева и справа одинаково: у каждого атома их Z, поэтому электронные массы сокращаются. Можно применять формулу Δm = Zm_H + (A − Z)m_n − m_атома, где m_H — масса атома водорода.

Энергия связи относится ко всему ядру, а удельная энергия связи — к одному нуклону в среднем. Большое ядро может иметь большую E_св только потому, что в нём больше частиц. Поэтому прочность ядер разного размера сравнивают по E_уд: чем она выше, тем сильнее в среднем связаны нуклоны.

Основные величины, характеризующие энергию связи ядра

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите согласованные единицы масс. Если дана масса ядра, используйте массы протона и нейтрона; если даны атомные массы, берите массу атома водорода. После нахождения Δm энергию связи получают умножением на c².

Разбор задач

Задача 1. Дефект массы ядра гелия-4

Ядро гелия-4 содержит два протона и два нейтрона. Пусть m_p = 1,007276 а.е.м., m_n = 1,008665 а.е.м., а масса ядра m_ядра = 4,001506 а.е.м. Найдём дефект массы.

1. Определяем число нейтронов: A − Z = 4 − 2 = 2.
2. Находим массу свободных нуклонов: 2m_p + 2m_n = 2 · 1,007276 + 2 · 1,008665 = 4,031882 а.е.м.
3. Вычитаем массу ядра: Δm = 4,031882 − 4,001506 = 0,030376 а.е.м.

Ответ: дефект массы ядра гелия-4 равен примерно 0,0304 а.е.м., или 5,04 · 10⁻²⁹ кг.

Задача 2. Энергия связи гелия-4

Используем найденный дефект массы Δm ≈ 5,04 · 10⁻²⁹ кг и скорость света c = 3 · 10⁸ м/с. Нужно получить результат сначала в джоулях, затем в мегаэлектрон-вольтах.

1. Подставляем данные: E_св = Δmc² = 5,04 · 10⁻²⁹ · (3 · 10⁸)².
2. Вычисляем: E_св ≈ 4,54 · 10⁻¹² Дж.
3. Переводим в МэВ: 1 МэВ = 1,602 · 10⁻¹³ Дж, поэтому E_св ≈ 4,54 · 10⁻¹² / 1,602 · 10⁻¹³ ≈ 28,3 МэВ.

Ответ: энергия связи ядра гелия-4 примерно равна 4,54 · 10⁻¹² Дж, или 28,3 МэВ.

Задача 3. Сравнение ядер

Для ядра X известны Δm = 0,030 а.е.м. и A = 4, а для ядра Y — Δm = 0,150 а.е.м. и A = 20. Сравнить ядра нужно не по самим дефектам, а по энергии связи на один нуклон.

1. Так как E_св = Δmc², при одинаковых единицах достаточно сравнить Δm/A.
2. Для X: Δm/A = 0,030/4 = 0,0075 а.е.м. на нуклон.
3. Для Y: Δm/A = 0,150/20 = 0,0075 а.е.м. на нуклон.

Ответ: удельные энергии связи одинаковы, поэтому по этим данным нельзя сказать, что одно из ядер прочнее другого. Если бы значение Δm/A было больше у одного ядра, его нуклоны были бы в среднем связаны сильнее.

Типичные ошибки

Дефект массы — ошибка измерения. Так считают, потому что слово «дефект» напоминает о недостатке. Проверьте себя: это расчётная разность масс, и она связана с реальной энергией по формуле E = Δmc².

Смешивание атомных и ядерных масс. Ошибка возникает, когда в формулу с массой ядра подставляют массу атома, не учитывая электроны. Используйте либо ядерные массы, либо атомные массы вместе с массой атома водорода.

Путаница E_св и E_уд. Энергия связи относится ко всему ядру, а удельная энергия получается делением на A. Проверьте наличие деления: без него сравнение ядер разного размера может быть неверным.

Неверный перевод единиц. Атомную единицу массы нельзя подставлять в формулу с c² без перевода в килограммы, если нужен ответ в джоулях. Также помните: 1 МэВ = 1,602 · 10⁻¹³ Дж.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны состав атомного ядра, массовое число A, зарядовое число Z, понятия протона и нейтрона, а также формула E = mc². Дефект массы и энергия связи применяются при изучении радиоактивности и ядерных реакций, где действуют законы сохранения энергии и импульса. Удельная энергия связи объясняет, почему энергия выделяется при делении тяжёлых ядер и синтезе лёгких.

Что запомнить

• Масса связанного ядра меньше суммы масс свободных нуклонов.
• Разность этих масс называется дефектом массы.
• Дефект массы соответствует энергии связи ядра.
• Энергия связи определяется формулой E_св = Δmc².
• Удельная энергия связи равна энергии связи, делённой на число нуклонов.
• Чем больше удельная энергия связи, тем прочнее в среднем связаны нуклоны в ядре.
• Для расчётов важно согласовать используемые атомные или ядерные массы.