"Физика", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е.
Маятник — груз на нити, который движется туда и обратно около положения равновесия. Время одного полного колебания называют периодом и обозначают T. Его можно измерить по нескольким колебаниям или рассчитать для математического маятника по длине нити и ускорению свободного падения. При небольших отклонениях период не зависит от массы груза и почти не зависит от амплитуды, зато увеличивается вместе с длиной маятника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математический маятник — модель: небольшой груз, подвешенный на лёгкой нерастяжимой нити, колебания которого рассматривают без учёта сопротивления воздуха. В настоящем маятнике нить и груз не идеальны, но такая модель помогает выделить главные причины движения. Ею удобно пользоваться, чтобы описывать и рассчитывать колебания.
Период колебаний — время одного полного колебания; его обозначают T и измеряют в секундах. Полное колебание — это движение, после которого груз снова оказывается в исходном положении и движется в прежнем направлении. Период показывает, насколько быстро повторяется движение маятника.
Длина маятника — расстояние от точки подвеса до центра груза; её обозначают l и измеряют в метрах. Измерять нужно именно до центра груза, а не до его края: так длина определяется одинаково для грузов разного размера. Эта величина понадобится для расчёта периода.
Период математического маятника при малых колебаниях рассчитывают по формуле T = 2π√(l/g), где g — ускорение свободного падения. Формула связывает период с длиной маятника и величиной g, а 2π — постоянный множитель. Она позволяет предсказать период, не проводя измерение секундомером, если известны длина и ускорение свободного падения.
Когда груз отклоняют от положения равновесия, сила тяжести тянет его обратно, потому что стремится опустить груз ниже. Разогнавшись, груз проходит положение равновесия по инерции: движущееся тело не останавливается мгновенно. Затем груз поднимается с другой стороны, замедляется и снова начинает двигаться назад, поэтому колебание повторяется.
Чтобы измерить период, можно засечь время одного колебания, но короткий промежуток трудно точно отметить секундомером. Поэтому измеряют время нескольких полных колебаний и делят его на их число: T = t/N, где t — общее время, а N — число колебаний. Например, если за 40 секунд маятник совершил 20 колебаний, одно заняло в среднем 2 секунды. Усреднение уменьшает влияние случайной ошибки при запуске и остановке секундомера.
В опытах с малым отклонением изменение массы груза почти не меняет период. Более тяжёлый груз сильнее притягивается Землёй, но его труднее разогнать, и эти эффекты уравновешиваются. Поэтому в формуле периода масса не появляется. При заметно больших отклонениях простое правило о неизменности периода уже нельзя считать точным.
Если отклонить один и тот же маятник чуть сильнее, при малых отклонениях его период почти не изменится. Амплитуда — наибольшее отклонение от положения равновесия; малой называют такую амплитуду, при которой колебания можно описывать принятой моделью. При увеличении длины период становится больше: груз проходит более длинный путь, а возвращающее действие силы тяжести вдоль движения слабее. Формула выражает эту зависимость через квадратный корень из l, поэтому рост периода не происходит в той же пропорции, что рост длины.
На период влияет и ускорение свободного падения g: при меньшем g маятник колеблется медленнее, а период больше. Это следует из формулы: g находится под корнем в знаменателе, поэтому при уменьшении g значение T растёт. Например, на небесном теле с меньшим ускорением свободного падения такой же маятник имел бы больший период. Формула относится к математическому маятнику и малым колебаниям.
| Величина или условие | Влияние на период | Пояснение |
|---|---|---|
| Масса груза | Не влияет при малых колебаниях | Массы нет в формуле периода математического маятника. |
| Длина маятника | При увеличении длины период растёт | T пропорционален √l: длинный маятник колеблется медленнее. |
| Амплитуда при малых колебаниях | Почти не влияет | Это справедливо, пока отклонения остаются небольшими. |
| Ускорение свободного падения | При уменьшении g период растёт | В формуле g находится под корнем в знаменателе. |
| Формула периода и единица измерения | T = 2π√(l/g); T измеряется в секундах | Для вычисления l подставляют в метрах, g — в м/с². |
Сначала найдите в таблице величину, которую меняют, а затем прочитайте, как она влияет на период. Формулу применяйте для математического маятника при малых колебаниях и проверяйте, что единицы длины и ускорения согласованы. Если нужно найти период по наблюдениям, используйте также время нескольких колебаний и их число.
Задача 1. Маятник совершил 20 полных колебаний за 40 с. Найдите период. Здесь известны общее время и число повторений движения, поэтому не нужно применять формулу с длиной нити: достаточно определить среднее время одного колебания. Сначала запишем связь периода с общим временем, затем подставим значения.
Ответ: период маятника равен 2 с. Перед вычислением убедитесь, что посчитаны именно полные колебания, а не движения только в одну сторону. Такое деление полезно, когда измеряют период экспериментально.
Задача 2. Период маятника равен 2 с. Сколько полных колебаний он совершит за 30 с? Период сообщает, сколько времени занимает одно колебание, а задача спрашивает число колебаний за всё время. Значит, общее время нужно разделить на время одного колебания; сначала проверим, что обе величины указаны в секундах.
Ответ: за 30 секунд маятник совершит 15 полных колебаний. Проверка обратным действием: 15 колебаний по 2 секунды займут 30 секунд. Если время не делится на период без остатка, можно получить и нецелое число колебаний, выполненных к указанному моменту.
Задача 3. Длина математического маятника равна 1 м. Оцените его период при g = 9,8 м/с². Даны длина и ускорение свободного падения, поэтому используем формулу периода; сначала подставим значения в согласованных единицах. Поскольку требуется оценка, округлим итог до десятых долей секунды.
Ответ: период примерно равен 2 с. Проверка единиц: отношение l/g имеет единицу с², его квадратный корень — секунды, как и должно быть для периода. Полученное значение относится к модели математического маятника и малым колебаниям.
Ошибка: считать периодом время сразу нескольких колебаний. Так делают, потому что секундомер показывает общее время опыта, но по определению период — время одного полного колебания. Чтобы проверить себя, разделите показание секундомера на число полных колебаний: результат должен быть временем одного колебания, а не всей серии.
Ошибка: остановить отсчёт, когда груз впервые достиг положения равновесия. Это только часть движения, ведь груз ещё не вернулся в исходное положение. Начинайте и заканчивайте отсчёт в одной точке и при одном направлении движения: например, от крайнего положения до возвращения к нему с движением в ту же сторону.
Ошибка: считать, что масса груза меняет период. Это предположение кажется естественным, потому что тяжёлый груз сильнее притягивается Землёй, но и его инерция больше. Для математического маятника при малых колебаниях масса в формулу не входит; проверьте это, посмотрев на T = 2π√(l/g).
Ошибка: думать, что при увеличении длины период уменьшается. Иногда длинный путь путают с большей скоростью, но по формуле T = 2π√(l/g) при неизменном g период растёт вместе с √l. Проверьте себя сравнением: более длинный маятник совершает колебание за большее время и поэтому движется медленнее.
Для понимания маятника пригодятся понятия колебательного движения, положения равновесия, амплитуды и частоты. Частота ν показывает число колебаний за секунду и связана с периодом формулой ν = 1/T. Зная период, можно найти частоту, а по частоте — время одного колебания. Понятие периода используют и при изучении других колебательных систем, измерении времени и механических волн.
Как правильно определить время одного полного колебания?
Выберите точку, откуда начинаете отсчёт, например крайнее положение. Одно полное колебание закончится, когда груз вернётся в эту точку и будет двигаться в том же направлении.
Почему период измеряют по нескольким колебаниям, а не по одному?
Время одного колебания короткое, поэтому ошибка при запуске и остановке секундомера заметно влияет на результат. Если измерить несколько колебаний и разделить общее время на их число, относительная ошибка станет меньше.
Зависит ли период маятника от массы груза?
Для математического маятника при малых колебаниях период от массы груза не зависит. В формуле T = 2π√(l/g) массы нет.
Что произойдёт с периодом, если увеличить длину маятника?
Период увеличится, поэтому более длинный маятник будет колебаться медленнее. При неизменном g период растёт пропорционально квадратному корню из длины.
Можно ли применять формулу периода при больших отклонениях маятника?
Формула T = 2π√(l/g) предназначена для малых колебаний. При больших отклонениях она даёт лишь приближённый результат, поэтому применять её как точную нельзя.
§ 39*. Период колебаний маятника
