"Физика", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е.
Линза изменяет направление световых лучей и может создавать изображение предмета. Формула тонкой линзы связывает три расстояния: от предмета до линзы, от линзы до изображения и фокусное расстояние. С её помощью можно найти положение изображения, определить, будет оно действительным или мнимым, и рассчитать оптическую силу линзы. Для верного ответа нужно учитывать не только величины расстояний, но и их знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Фокусное расстояние линзы F — расстояние от её оптического центра до главного фокуса. Оптический центр — точка, через которую луч в тонкой линзе проходит, практически не меняя направления, а главный фокус связан с ходом параллельных лучей. У собирающей линзы F положительно, у рассеивающей — отрицательно. Знак помогает учитывать, где находится фокус, при расчётах.
Оптическая сила D — величина, обратная фокусному расстоянию: D = 1/F. Чтобы получить её в диоптриях, F нужно выразить в метрах; например, F = 0,5 м даёт D = 2 дптр. Чем меньше по модулю фокусное расстояние, тем сильнее линза изменяет ход лучей. У рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна.
Расстояние от предмета до линзы обозначают d. Его измеряют от предмета до оптического центра, а для обычного реального предмета перед линзой d считают положительным. Эта величина показывает, откуда начинают расходиться лучи, попадающие на линзу. Она нужна, чтобы связать положение предмета с положением его изображения.
Расстояние от изображения до линзы обозначают f и отсчитывают от изображения до оптического центра. В формуле учитывают знак: при принятом правиле действительное изображение за линзой имеет положительное f, а мнимое со стороны предмета — отрицательное. Поэтому f может быть не просто расстоянием, но и подсказкой о типе изображения. Не перепутай его обозначение с F: прописная буква относится к фокусному расстоянию.
Представим тонкую линзу, предмет перед ней и изображение, которое появляется после прохождения лучей через линзу. Оптический центр находится посередине линзы, а главный фокус отмечают на главной оптической оси. Луч, идущий параллельно оси, после собирающей линзы проходит через фокус; луч через оптический центр почти не отклоняется. Пересечение лучей или их продолжений показывает место изображения и связывает его с расстояниями d, f и F.
Формулу можно получить из подобия треугольников, возникающих при построении изображения. Один треугольник связывает высоту предмета и высоту изображения с расстояниями до линзы, другой — высоту изображения с фокусным расстоянием и расстоянием от линзы до изображения. Приравнивая отношения соответствующих сторон, получают соотношение между величинами. После преобразования оно имеет вид 1/F = 1/d + 1/f: складываются именно обратные расстояния.
Знаки нужны, потому что изображение может находиться по одну или по другую сторону линзы относительно предмета. Для реального предмета d положительно. Если лучи действительно сходятся за линзой, изображение действительное и f положительно; если сходятся только продолжения лучей со стороны предмета, оно мнимое и f отрицательно. Фокусное расстояние тоже подставляют со знаком: положительное для собирающей линзы, отрицательное для рассеивающей.
Чтобы найти неизвестное расстояние, формулу преобразуют так, чтобы нужная обратная величина осталась одна. Например, для поиска изображения записывают 1/f = 1/F − 1/d, а затем берут обратную величину результата. Если известны F и f, можно найти расстояние до предмета: 1/d = 1/F − 1/f. При вычислениях удобно сначала использовать одинаковые единицы длины, а итог для оптической силы получать только после перевода F в метры.
Знак найденного расстояния проверяет, где должно находиться изображение: f > 0 означает действительное, f < 0 — мнимое. Но одного знака недостаточно, если в задаче допущена ошибка с подстановкой: нужно также представить ход лучей. Например, рассеивающая линза с реальным предметом обычно разводит лучи, поэтому изображение получается мнимым. Если расчёт утверждает обратное, проверь знаки F, d и арифметику.
| Величина | Обозначение | Смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Расстояние от предмета до линзы | d | От предмета до оптического центра | м |
| Расстояние от изображения до линзы | f | От изображения до оптического центра, со знаком | м |
| Фокусное расстояние линзы | F | От оптического центра до главного фокуса, со знаком | м |
| Оптическая сила линзы | D | Величина, обратная фокусному расстоянию | дптр |
Перед подстановкой подпиши каждую величину и укажи её знак. В формуле линзы все расстояния должны быть выражены в одинаковых единицах, а при расчёте D фокусное расстояние переводят в метры. Так таблица помогает не смешать обозначения и единицы.
Собирающая линза имеет F = 10 см, предмет находится на расстоянии d = 30 см. Найдём f, используя положительные значения F и d для этой ситуации. Важно выразить неизвестную обратную величину отдельно, прежде чем вычислять расстояние. Проверим, соответствует ли знак действительному изображению.
Ответ: изображение расположено в 15 см от линзы и является действительным. Оно действительно, потому что после собирающей линзы лучи могут пересечься за ней. Это согласуется со знаком f, найденным в расчёте.
Предмет находится в 20 см от линзы, а изображение — в 60 см от неё. Считаем, что изображение действительное, поэтому d = 20 см и f = 60 см положительны. Сначала найдём F в сантиметрах, затем переведём его в метры для расчёта оптической силы. Такой порядок не позволяет перепутать единицы.
Ответ: F = 15 см, D ≈ 6,7 дптр. Знак оптической силы положительный, как и знак фокусного расстояния собирающей линзы. Расстояния до предмета и действительного изображения также подставлены со знаком плюс.
Предмет стоит в 15 см от рассеивающей линзы, фокусное расстояние которой F = −10 см. Нужно найти f и по его знаку определить тип изображения. Отрицательное F здесь обязательно: оно показывает, что линза рассеивающая. Расстояние до реального предмета принимаем положительным.
Ответ: изображение находится в 6 см от линзы со стороны предмета и является мнимым. Это согласуется с ходом лучей в рассеивающей линзе: сами лучи расходятся, а пересекаются только их продолжения. Отрицательный результат не означает, что вычисление неверно.
Оптическую силу иногда вычисляют по фокусному расстоянию в сантиметрах, хотя диоптрия связана с метрами. Так происходит, когда забывают, что D = 1/F требует F в метрах: например, 10 см — это 0,10 м. Перед вычислением D переведи F в метры и проверь, что единица ответа — дптр.
Ещё одна ошибка — игнорировать знаки и пользоваться формулой одинаково для всех линз и изображений. Тогда рассеивающей линзе могут приписать положительное фокусное расстояние, а мнимому изображению — положительное f. Вспомни правило: F отрицательно у рассеивающей линзы, f отрицательно у мнимого изображения; сверка с ходом лучей помогает обнаружить ошибку.
Фокусное расстояние F путают с оптической силой D и записывают D = F. Величины различаются: D равна обратному F, а единицы у них тоже разные — метры и диоптрии. Проверь запись по определению D = 1/F и переведи F в метры перед вычислением.
Некоторые складывают расстояния d и f, словно формула имеет вид F = d + f. Но в формуле тонкой линзы складываются обратные величины: 1/F = 1/d + 1/f. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения формулы; проверяй, что дробная черта есть у каждого расстояния, и выполняй действия с обратными величинами.
Для применения формулы нужно уметь строить изображения в собирающих и рассеивающих линзах, знать ход основных лучей и понимать, где находится главный фокус. Построение помогает выбрать знаки расстояний и проверить результат вычислений. Поэтому геометрический рисунок и формула описывают одно и то же явление разными способами.
Формула пригодится при изучении оптических приборов. В камере линза создаёт изображение на светочувствительной поверхности, а в глазу изображение формируется на сетчатке. Связь расстояний также помогает перейти к теме увеличения: сопоставить размеры предмета и изображения.
Почему в формуле линзы складываются обратные расстояния?
Формула получается из геометрии хода лучей: соответствующие треугольники при построении изображения подобны. Из этого подобия следует соотношение 1/F = 1/d + 1/f. Поэтому складывают обратные расстояния, а не сами расстояния.
Как определить знак расстояния до изображения?
При принятом здесь правиле действительное изображение находится по другую сторону линзы от предмета, и расстояние f положительно. Мнимое изображение находится с той же стороны, что и предмет, поэтому f отрицательно.
Почему фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно?
После рассеивающей линзы параллельные лучи расходятся и не пересекаются в действительном фокусе. Их продолжения назад сходятся в мнимом фокусе со стороны предмета. По принятому правилу его фокусное расстояние считают отрицательным.
В каких единицах нужно подставлять расстояния?
В формуле можно использовать любые одинаковые единицы длины, например сантиметры. Но для оптической силы фокусное расстояние обязательно переводят в метры: диоптрия равна обратному метру. Перед расчётом проверь, что единицы согласованы.
Как по формуле понять, действительное изображение или мнимое?
Сначала найди f с учётом знаков. Положительное значение соответствует действительному изображению по другую сторону линзы, отрицательное — мнимому изображению со стороны предмета. Затем сравни результат с тем, куда должны идти лучи при построении.
§ 58*. Формула линзы
