§ 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела

Определения и обозначения

Центр масс системы материальных точек — точка, радиус-вектор которой равен сумме радиус-векторов точек, умноженных на их массы, делённой на общую массу: r₍ц.м₎ = (Σmᵢrᵢ) / M. Здесь mᵢ — масса точки, rᵢ — её радиус-вектор, а M — масса всей системы. Это позволяет описывать поступательное движение сложной системы так, будто вся её масса собрана в одной точке.

Координаты центра масс находят как средние координаты точек с весами, равными их массам: x₍ц.м₎ = Σmᵢxᵢ/M, y₍ц.м₎ = Σmᵢyᵢ/M, z₍ц.м₎ = Σmᵢzᵢ/M. Поэтому координаты каждой точки умножают на её массу. Такие формулы нужны, чтобы учитывать не только положение частей системы, но и их вклад в общую массу.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на тело или систему тел. Иными словами, действие всех отдельных сил тяжести можно заменить одной силой, приложенной в этой точке. Понятие используют при решении задач о равновесии и устойчивости тел.

Центр масс твёрдого тела — обобщение понятия центра масс для тела, масса которого распределена непрерывно. Вместо суммы по отдельным точкам используют интеграл по элементам массы: r₍ц.м₎ = (1/M)∫r dm. Это позволяет находить положение центра масс пластин, стержней и объёмных тел.

Как это устроено

Положение центра масс зависит и от координат точек, и от их масс, потому что разные части системы вносят неодинаковый вклад. Если две точки имеют одинаковые массы, центр окажется посередине между ними. Если одна точка тяжелее, произведение mᵢrᵢ для неё больше, поэтому общий результат смещается к этой точке.

Формулы для координат получают непосредственно из векторного определения: радиус-вектор раскладывают по координатным осям. Так, для оси x получается сумма mᵢxᵢ, делённая на M; аналогично выводятся координаты y и z. В знаменателе стоит общая масса, потому что центр масс является средним всей системы, а не вкладом отдельной точки.

Центр тяжести совпадает с центром масс в однородном поле тяжести, поскольку ускорение g одинаково для всех элементов тела. Сила тяжести каждого элемента равна dm·g, поэтому при вычислении равнодействующей общий множитель g выносится за скобки, и остаётся та же массовая формула. В неоднородном поле величина или направление силы меняются от точки к точке, поэтому простого совпадения может не быть.

Для протяжённого тела его мысленно разбивают на очень малые элементы массы dm. Сумму mᵢxᵢ заменяют интегралом ∫x dm, а общую массу находят как M = ∫dm; поэтому x₍ц.м₎ = (1/M)∫x dm. Если плотность ρ постоянна, используют связь dm = ρdV и интегрируют по объёму.

Симметрия часто позволяет обойтись без вычислений. У однородного тела плоскость, ось или центр симметрии делит массу попарно на равные части, и вклады симметричных элементов взаимно уравновешиваются. Поэтому центр масс лежит на каждом элементе симметрии: у однородного стержня он в середине, у прямоугольной пластины — на пересечении диагоналей, у кольца — в геометрическом центре.

Определение центра масс для разных систем

Сначала определите, можно ли считать систему набором отдельных точек или частей простой формы. Если масса распределена непрерывно, выбирайте интегрирование, а при симметрии сначала ищите оси и плоскости симметрии. В любой формуле проверьте, что в знаменателе стоит масса всей системы.

Разбор задач

Две точки на прямой

На прямой находятся точки массами 2 кг и 6 кг, расстояние между ними равно 4 м. Требуется найти положение центра масс относительно точки массой 2 кг. Выберем эту точку началом координат, тогда её координата равна 0, а координата второй точки — 4 м.

1. Запишем общую массу: M = 2 + 6 = 8 кг.
2. Применим формулу: x₍ц.м₎ = (2·0 + 6·4) / 8 = 24/8 = 3 м.
3. Проверим результат: 3 м — это ближе к точке массой 6 кг, как и должно быть.

Ответ: центр масс находится на расстоянии 3 м от точки массой 2 кг в направлении точки массой 6 кг. Он не обязан делить отрезок пополам, потому что массы различны.

Три точки на плоскости

Пусть точки имеют координаты (0; 0), (4; 0) и (0; 6), а их массы равны соответственно 1 кг, 2 кг и 3 кг. Координаты центра масс нужно находить отдельно по двум взаимно перпендикулярным осям. Такой способ удобен, потому что положение точки на плоскости задаётся парой координат.

1. Общая масса: M = 1 + 2 + 3 = 6 кг.
2. По оси x: x₍ц.м₎ = (1·0 + 2·4 + 3·0)/6 = 8/6 = 4/3 м.
3. По оси y: y₍ц.м₎ = (1·0 + 2·0 + 3·6)/6 = 18/6 = 3 м.

Ответ: центр масс имеет координаты (4/3 м; 3 м). Большая масса третьей точки заметно подняла центр вверх, а масса второй точки сместила его вправо.

Пластина с прямоугольным отверстием

Однородная пластина состоит из большого прямоугольника, из которого вырезано прямоугольное отверстие. Удобно не разбивать оставшуюся фигуру на множество частей, а представить её как целый прямоугольник плюс участок с отрицательной массой. Пусть массы этих частей равны M₁ и M₂, а координаты их центров масс — x₁ и x₂.

1. Выберем начало координат и найдём центры масс большого прямоугольника и отверстия по их диагоналям.
2. Массу отверстия запишем со знаком минус: M = M₁ − M₂.
3. Вычислим координату оставшейся пластины: x₍ц.м₎ = (M₁x₁ − M₂x₂)/(M₁ − M₂); аналогично найдём y₍ц.м₎.

Ответ выражается координатами, полученными по этим формулам. Знак минус показывает, что удалённый участок не должен добавлять массу, а должен уменьшать вклад целого прямоугольника.

Типичные ошибки

Обычное среднее координат используют вместо массово-взвешенного. Так можно поступать только при равных массах, потому что иначе тяжёлая точка должна влиять сильнее. Проверка: сравните результат с положением более массивной части — центр должен быть ближе к ней.

В знаменателе ставят массу одной точки, а не общую массу системы. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения определения, где деление выполняется на M = Σmᵢ. Проверяйте себя сложением всех масс до подстановки координат.

Считают, что центр масс всегда лежит внутри материала тела. Это неверно для колец, рамок и тел с отверстиями: точка может находиться в пустом пространстве. Проверка проста: представьте геометрию тела и не требуйте, чтобы найденная точка была заполнена веществом.

Без оговорок отождествляют центр тяжести с центром масс. Такое утверждение верно в однородном поле тяжести, но в неоднородном поле силы на разные элементы различаются. Всегда уточняйте, одинаково ли ускорение свободного падения во всех точках тела.

Связь с другими темами

Для изучения центра масс нужны понятия массы, координат точки, радиус-вектора и равнодействующей сил. Радиус-вектор задаёт положение точки относительно начала координат, а равнодействующая заменяет несколько сил одной эквивалентной силой.

Положение центра масс используют при изучении движения системы тел и законов сохранения. В задачах на равновесие центр тяжести помогает определить, где должна проходить линия действия силы, чтобы тело не опрокинулось.

Что запомнить

• Центр масс определяется распределением массы и положением её частей.
• Координаты центра масс — средние координаты, взвешенные по массам.
• Для системы материальных точек в знаменателе формулы стоит общая масса системы.
• В однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с центром масс.
• У симметричного однородного тела центр масс находится на элементах симметрии.
• Центр масс не обязательно находится внутри тела.