3. Зависимость удельного сопротивления проводников от температуры

Определения и обозначения

Удельное сопротивление — характеристика вещества, показывающая, насколько сильно проводник из этого вещества препятствует току. Его обозначают греческой буквой ρ и измеряют в Ом·м. Эта величина нужна, чтобы сравнивать разные материалы независимо от длины и толщины проводников.

Температурный коэффициент сопротивления — величина α, характеризующая относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на один градус. Знак α показывает направление изменения: положительный коэффициент означает рост ρ, отрицательный — уменьшение. С его помощью рассчитывают свойства проводника при другой температуре.

Зависимость удельного сопротивления от температуры — изменение ρ при нагревании или охлаждении вещества. Она бывает разной у металлов, сплавов и полупроводников. Знание этой зависимости помогает предсказать работу электрической цепи при изменении температуры.

Сверхпроводимость — состояние некоторых веществ при очень низкой температуре, при котором их удельное сопротивление практически становится равным нулю. Ток в таком материале может проходить без обычных потерь энергии. Это свойство используют в специальной технике, если удаётся обеспечить необходимое охлаждение.

Как это устроено

В металле положительные ионы образуют кристаллическую решётку, а свободные электроны перемещаются между ними. При нагревании ионы начинают сильнее колебаться около своих положений. Электроны чаще сталкиваются с колеблющимися ионами, поэтому их направленное движение затрудняется и удельное сопротивление металла увеличивается.

Для металлов в ограниченном диапазоне температур применяют приближённую формулу ρ = ρ₀(1 + α(T − T₀)). Здесь ρ₀ — удельное сопротивление при начальной температуре T₀, ρ — сопротивление при температуре T, а α — температурный коэффициент. В формулу подставляют не саму температуру, а её изменение T − T₀, выраженное в градусах.

В полупроводниках часть электронов связана с атомами и не может свободно переносить заряд. При нагревании некоторые электроны получают достаточно энергии, чтобы стать свободными, а в веществе появляются дополнительные носители заряда. Поэтому проводимость обычно возрастает, а удельное сопротивление уменьшается, несмотря на усиление тепловых колебаний решётки.

У металлов график ρ(T) обычно поднимается, у полупроводников — опускается. У сплавов зависимость часто слабее: их сопротивление может изменяться мало, поэтому из них делают точные сопротивления и нагревательные элементы. Материал выбирают по температурному коэффициенту, если прибор должен сохранять свойства при нагревании или, наоборот, реагировать на изменение температуры.

Если длина и площадь поперечного сечения проводника не меняются, его сопротивление изменяется вместе с удельным сопротивлением: R = ρl/S. Например, при увеличении ρ в два раза сопротивление такой проволоки также увеличится в два раза. Если температура меняет ещё и размеры проводника, полный результат нужно оценивать с учётом этих изменений.

Зависимость удельного сопротивления разных материалов от температуры

Сначала определите материал, затем посмотрите на знак α и причину изменения числа или движения носителей заряда. Для приблизительных расчётов металлов можно использовать формулу, а для сверхпроводника учитывать резкий переход в особое состояние.

Разбор задач

Задача 1

Удельное сопротивление металлического проводника при 20 °C равно 1,7·10⁻⁸ Ом·м, α = 0,0045 °C⁻¹. Найдём ρ при 80 °C.

1. Определим изменение температуры: T − T₀ = 80 °C − 20 °C = 60 °C.
2. Запишем формулу: ρ = ρ₀(1 + α(T − T₀)).
3. Подставим значения: ρ = 1,7·10⁻⁸(1 + 0,0045·60) = 1,7·10⁻⁸·1,27.
4. Выполним умножение: ρ ≈ 2,16·10⁻⁸ Ом·м.

Ответ: при 80 °C удельное сопротивление примерно равно 2,16·10⁻⁸ Ом·м. Оно увеличилось, потому что α положителен.

Задача 2

Сопротивление проволоки при 20 °C равно 10 Ом, а после нагревания стало 12,25 Ом. Размеры проволоки неизменны, α = 0,0045 °C⁻¹. Определим конечную температуру.

1. При постоянных размерах отношение сопротивлений равно отношению удельных сопротивлений: R/R₀ = ρ/ρ₀.
2. Запишем 12,25/10 = 1 + 0,0045(T − 20).
3. Получим 1,225 − 1 = 0,0045(T − 20), значит 0,225 = 0,0045(T − 20).
4. Разделим: T − 20 = 50 °C, поэтому T = 70 °C.

Ответ: температура проволоки стала равна 70 °C. Сначала нужно было заменить изменение ρ изменением R, поскольку геометрические размеры не менялись.

Задача 3

Два проводника одинаковых размеров сделаны из металла и полупроводника. По графику ρ(T) определим, у какого проводника сопротивление возрастёт при нагревании.

1. На графике смотрим направление изменения линии при движении вправо, то есть при росте температуры.
2. Для металла линия идёт вверх, поэтому ρ увеличивается и, при одинаковых размерах, увеличивается R.
3. Для полупроводника линия идёт вниз: число свободных носителей возрастает, а ρ и R обычно уменьшаются.

Ответ: сопротивление металлического проводника возрастёт, а сопротивление полупроводникового уменьшится. Различие объясняется тем, что в металле главным эффектом становится усиление столкновений электронов с ионами, а в полупроводнике — появление дополнительных носителей заряда.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при нагревании сопротивление любого проводника увеличивается. Так переносят свойство металлов на полупроводники. Проверьте тип материала и знак α: у полупроводника обычно α < 0.

Ошибка: подставлять в формулу температуру по шкале Цельсия без разности T − T₀. Формула описывает изменение относительно начального состояния, поэтому нужны две температуры. Самопроверка проста: при T = T₀ выражение должно дать ρ = ρ₀.

Ошибка: путать ρ и R. Удельное сопротивление относится к веществу, а сопротивление конкретной детали зависит ещё от длины и площади сечения. Проверьте, использована ли формула R = ρl/S.

Ошибка: применять линейную формулу при любых температурах. Она приближённая и действует в ограниченном диапазоне, где график достаточно близок к прямой. Если температура сильно меняется или материал переходит в другое состояние, нужны специальные данные.

Связь с другими темами

• До этой темы нужно знать определение сопротивления, формулу R = ρl/S, единицы измерения и смысл температуры.
• Зависимость ρ от температуры пригодится при расчёте нагрева проводов, резисторов и электрических цепей.
• Эти знания используются при изучении терморезисторов, измерительных приборов, полупроводников и сверхпроводников.

Что запомнить

• Удельное сопротивление обозначают ρ и измеряют в Ом·м.
• У металлов при повышении температуры ρ обычно увеличивается.
• У полупроводников при повышении температуры ρ обычно уменьшается.
• Для металлов в ограниченном диапазоне температур применима формула ρ = ρ₀(1 + α(T − T₀)).
• Знак α показывает, возрастает или уменьшается удельное сопротивление при нагревании.
• Сопротивление проводника изменяется вместе с ρ, если его размеры остаются постоянными.
• При сверхпроводимости удельное сопротивление некоторых веществ практически равно нулю.