Таблица значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов углов от 0 до 90(через каждый градус)

Определения и обозначения

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его обозначают sin α. Противолежащий катет расположен напротив угла α, а гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Синус помогает связать угол с длинами сторон.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначение — cos α. Прилежащий катет образует угол α вместе с гипотенузой. Косинус используют, когда известны угол и прилегающая к нему сторона.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; он обозначается tg α. Здесь сравниваются два катета, без гипотенузы. Тангенс полезен, когда требуется связать стороны, образующие прямой угол.

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему; обозначение — ctg α. Это обратное отношение к тангенсу, если оба катета ненулевые. По котангенсу также можно находить соотношение катетов.

Как это устроено

Чтобы определить синус, косинус, тангенс или котангенс, сначала выбери острый угол прямоугольного треугольника. Названия «прилежащий» и «противолежащий» относятся именно к выбранному углу: если выбрать другой острый угол, роли катетов поменяются. Затем подставь в нужное отношение стороны с правильными названиями.

Значение отношения не меняется при увеличении или уменьшении треугольника, если угол остаётся тем же. Такие треугольники подобны, а значит, соответствующие стороны изменяются во столько же раз. Например, если все стороны увеличить вдвое, числитель и знаменатель отношения тоже увеличатся вдвое, и дробь останется прежней.

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме составляют 90°. Катет, который лежит напротив одного угла, прилегает к другому, поэтому sin α = cos (90° − α). По той же причине cos α = sin (90° − α). Эти равенства позволяют заменить значение функции значением дополнительного угла.

Если разделить определение синуса на определение косинуса, гипотенузы сократятся: (противолежащий катет / гипотенуза) / (прилежащий катет / гипотенуза) = tg α. Поэтому tg α = sin α / cos α, когда cos α не равен нулю. Аналогично ctg α = cos α / sin α, если sin α не равен нулю.

В таблице угол задаёт строку, а название функции — столбец. Пересечение строки и столбца показывает значение, обычно округлённое до нескольких знаков после запятой. Округлённое число не всегда является точным, поэтому при дальнейших вычислениях его считают приближённым. Для углов 0° и 90° некоторые отношения не определены: в соответствующем месте таблицы ставят прочерк.

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов от 0° до 90°

Ниже показаны опорные строки таблицы; полный перечень строится с шагом 1° от 0° до 90°. Значения приведены с округлением до четырёх знаков после запятой, символ «—» означает, что отношение не определено.

Для поиска сначала найди градусную меру угла в первом столбце, затем двигайся по строке до столбца нужной функции. Для значения, не представимого конечной десятичной дробью, используй округлённое число и знак ≈. Неопределённые значения нельзя заменять нулём.

Разбор задач

Задача 1. По таблице найти sin 37°, cos 37°, tg 37° и ctg 37°.

1. Находим строку 37° в таблице. Угол указан точно, поэтому выбирать соседние строки не нужно.
2. В столбце sin α читаем значение sin 37° ≈ 0,6018, а в столбце cos α — cos 37° ≈ 0,7986.
3. В столбце tg α получаем tg 37° ≈ 0,7536, а в столбце ctg α — ctg 37° ≈ 1,3270. Значения записаны приближённо, поскольку таблица округляет десятичные дроби.

Ответ: sin 37° ≈ 0,6018; cos 37° ≈ 0,7986; tg 37° ≈ 0,7536; ctg 37° ≈ 1,3270.

Задача 2. Найти sin 28°, используя в таблице значение cos 62°.

1. Проверяем, что 28° и 62° — дополнительные углы: 28° + 62° = 90°.
2. Применяем равенство sin α = cos (90° − α). Значит, sin 28° = cos 62°.
3. В строке 62° находим столбец cos α. По таблице cos 62° ≈ 0,4695, следовательно, sin 28° ≈ 0,4695.

Ответ: sin 28° ≈ 0,4695.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 35°, а прилежащий катет — 8 см. Найти гипотенузу.

1. Обозначим гипотенузу через c. Для угла 35° известен прилежащий катет, поэтому выбираем косинус: cos 35° = 8 / c.
2. По таблице cos 35° ≈ 0,8192. Получаем 0,8192 ≈ 8 / c, откуда c ≈ 8 / 0,8192.
3. Выполняем деление: c ≈ 9,77 см. Гипотенуза длиннее катета, и результат этому соответствует.

Ответ: гипотенуза приблизительно равна 9,77 см.

Типичные ошибки

Синус и косинус иногда путают, потому что оба отношения содержат гипотенузу. Ошибка возникает, если не определить, какой катет прилежит к выбранному углу, а какой лежит напротив него. Проверь себя по дополнительным углам: sin α = cos (90° − α).

Некоторые считают, что tg 90° и ctg 0° равны нулю или бесконечности. Но в определении tg 90° появляется деление на cos 90° = 0, а в определении ctg 0° — деление на sin 0° = 0. Делить на ноль нельзя, поэтому оба значения не определены.

Табличное значение с округлением принимают за точное и ставят знак равенства. Это может привести к неточному ответу, особенно если округлённые числа используются в нескольких действиях. Для приближённого значения пиши знак ≈ и сохраняй несколько знаков при промежуточных вычислениях.

При поиске можно случайно прочитать строку соседнего угла или не тот столбец. Такая ошибка появляется, если не сверить заголовки после нахождения числа. Проверь градусную меру строки и название функции над выбранным столбцом.

Связь с другими темами

Для работы с таблицей нужно знать части прямоугольного треугольника и различать прилежащий и противолежащий катеты относительно угла. Также необходимо понимать градусную меру угла и знать, что острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга до 90°. Это помогает правильно выбрать нужное отношение сторон.

Таблица используется при решении прямоугольных треугольников: по известному углу и стороне можно вычислить другую сторону. Сначала выбирают синус, косинус или тангенс по тому, какие стороны известны и какую нужно найти, затем подставляют табличное значение.

Что запомнить

• sin α — противолежащий катет, делённый на гипотенузу.
• cos α — прилежащий катет, делённый на гипотенузу.
• tg α = sin α / cos α, если cos α не равен нулю.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α не равен нулю.
• sin α = cos (90° − α).
• tg 90° и ctg 0° не определены.
• Табличные значения могут быть округлены.