Таблица значений тригонометрических функций

Определения и обозначения

Синус острого угла α в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Записывают: sin α; читают «синус альфа». Это обозначение позволяет кратко указывать, какое именно отношение сторон нужно взять для выбранного угла.

Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Его обозначают cos α и читают «косинус альфа». Косинус помогает выразить длину стороны или сравнить стороны треугольника, если известен угол.

Тангенс острого угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему. Запись tg α читают «тангенс альфа». С помощью тангенса можно сопоставить два катета, не обращаясь к гипотенузе.

Котангенс острого угла α — отношение прилежащего катета к противолежащему. Его обозначают ctg α и читают «котангенс альфа». Это обратное отношение к тангенсу, поэтому котангенс удобен, когда известны или нужны именно такие стороны.

Как это устроено

Значения синуса и косинуса углов 30°, 45° и 60° выводят из двух известных видов прямоугольных треугольников. В треугольнике с углами 30°, 60° и 90° гипотенуза вдвое длиннее катета напротив угла 30°, а второй катет равен этому катету, умноженному на √3. Поэтому, разделив подходящие стороны на гипотенузу, получают табличные значения. В треугольнике 45°–45°–90° катеты равны, а гипотенуза в √2 раз длиннее каждого катета, откуда sin 45° = cos 45° = √2/2.

В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме составляют 90°. Если один угол равен α, то второй равен 90° − α. Противолежащий катет для одного угла становится прилежащим для другого, а гипотенуза остаётся той же. Поэтому sin α = cos (90° − α), а cos α = sin (90° − α). Например, синус 30° равен косинусу 60°.

Тангенс и котангенс можно выразить через синус и косинус, потому что в их определениях повторяются те же стороны. Если разделить отношение противолежащего катета к гипотенузе на отношение прилежащего катета к гипотенузе, гипотенуза сократится: tg α = sin α / cos α. Поменяв отношения местами, получим ctg α = cos α / sin α. Эти формулы позволяют вычислять тангенс и котангенс по табличным значениям синуса и косинуса.

Для угла 90° косинус равен нулю, поэтому в формуле tg α = sin α / cos α пришлось бы делить на ноль. Такое действие невозможно, значит tg 90° не определён. Для угла 0° синус равен нулю, и деление на него в формуле котангенса тоже невозможно. Поэтому ctg 0° не имеет значения, хотя остальные значения в этих строках таблицы существуют.

Таблица устроена так, чтобы нужное число можно было найти на пересечении строки угла и столбца функции. Если угол дан в радианах, сначала сопоставьте его с градусами по столбцу с радианами: например, π/3 соответствует 60°. Затем выберите нужный столбец — sin α, cos α, tg α или ctg α. Если в клетке указано, что значение не определено, его нельзя заменять числом.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Чтобы найти значение, сначала отыщите нужный угол в первом столбце, а затем выберите столбец требуемой функции. Например, значение cos 60° находится в строке 60° и столбце cos α. Радианная запись в соседнем столбце помогает найти тот же угол, если он задан через π.

Разбор задач

Найдите sin 30° и cos 60° по таблице.

Нужно прочитать два значения из разных строк и сравнить их. Не следует брать оба числа из одной строки: у каждого выражения свой угол. Ищем синус в строке 30°, а косинус — в строке 60°.

1. В строке 30° на пересечении со столбцом sin α находим ½.
2. В строке 60° на пересечении со столбцом cos α тоже находим ½.
3. Сравниваем результаты: они совпали, что согласуется со связью функций дополнительных углов.

Ответ: sin 30° = ½, cos 60° = ½.

Известно, что cos α = √3/2 и α — острый угол. Найдите α.

Здесь дано значение функции, а найти нужно угол. Поэтому сравним √3/2 со значениями в столбце косинуса. Условие об остром угле помогает выбрать подходящий угол без рассмотрения других возможных значений вне таблицы.

1. Находим в столбце cos α значение √3/2.
2. В таблице оно стоит в строке 30°.
3. Следовательно, острый угол α, косинус которого равен √3/2, равен 30°.

Ответ: α = 30°.

Найдите значение выражения tg 30° · ctg 60° + sin 45°.

В выражении встречаются три функции, поэтому выпишем каждое значение отдельно. Первые два угла дополнительные: 30° + 60° = 90°, так что tg 30° и ctg 60° равны. По таблице каждое из них равно √3/3. Синус 45° равен √2/2.

1. Подставляем значения: (√3/3) · (√3/3) + √2/2.
2. Перемножаем первые множители: (√3 · √3)/(3 · 3) = 3/9 = 1/3.
3. Складываем полученное число с последним слагаемым: 1/3 + √2/2.
4. При необходимости приводим к общему знаменателю: 1/3 + √2/2 = (2 + 3√2)/6.

Ответ: (2 + 3√2)/6.

Типичные ошибки

При определении синуса и косинуса иногда меняют местами противолежащий и прилежащий катеты. Это происходит, если не уточнить, к какому углу относится каждый катет. Проверьте, какой катет лежит напротив выбранного угла: он входит в синус, а прилежащий — в косинус.

Формулу тангенса могут записать как cos α / sin α, перепутав порядок отношений. Но это выражение соответствует котангенсу; тангенс равен sin α / cos α. Для проверки вспомните определения через катеты: у тангенса в числителе противолежащий катет, у котангенса — прилежащий.

При чтении таблицы легко взять число из соседней строки, особенно когда углы стоят рядом. Причина — поиск сразу по нужной функции без проверки угла. Сначала найдите строку с заданным углом, затем проследите по ней до требуемого столбца и проверьте оба заголовка.

Иногда в качестве ответа записывают число для tg 90° или ctg 0°. В соответствующих формулах знаменатель равен нулю, поэтому вычислить конечное значение нельзя. Проверьте знаменатель: если это cos 90° или sin 0°, функция в данном случае не определена.

Связь с другими темами

Для работы с таблицей нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса через стороны прямоугольного треугольника. Также полезно знать свойства треугольников с углами 30°, 45° и 60°: именно они помогают получить основные табличные числа. По этим значениям решают задачи на прямоугольные треугольники и вычисляют тригонометрические выражения. Связь функций дополнительных углов помогает находить значения и проверять вычисления.

Что запомнить

• sin α — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• cos α — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• sin α = cos (90° − α), а cos α = sin (90° − α).
• Значения tg 90° и ctg 0° не определены.