"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Исследовательская задача требует не только найти ответ, но и заметить закономерность, а затем выяснить, всегда ли она верна. Для этого разбирают условие, рассматривают частные случаи, формулируют гипотезу и проверяют её доказательством или поиском контрпримера. Такой подход помогает не принимать догадку за факт и пригодится при изучении свойств фигур, доказательстве теорем и решении нестандартных задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Исследовательская задача — задача, в которой нужно не только получить ответ, но и обнаружить закономерность или установить общее свойство. Например, можно сравнить несколько фигур и заметить, что их площади связаны одинаковым образом. Это понятие помогает понять, что ответом может быть не число, а новое правило.
Гипотеза — предположение о найденной закономерности, которое ещё требуется обосновать. Она появляется после наблюдений, но пока не считается доказанным фактом. Точная гипотеза подсказывает, что именно нужно проверить и доказать.
Контрпример — конкретный случай, опровергающий общее утверждение. Если утверждается, что свойство выполняется для всех четырёхугольников определённого вида, достаточно найти один подходящий четырёхугольник, для которого оно не выполняется. Контрпример помогает быстро проверить границы применимости гипотезы.
Исследование задачи — последовательный поиск решения: анализ условий, проверка частных случаев, выдвижение и обоснование гипотезы. Оно включает и попытку опровергнуть предположение, а не только поиск подтверждающих примеров. Такой порядок не позволяет спутать догадку с доказанным выводом.
Начинай с точного разбора условия: выпиши, что дано, что требуется выяснить и какие ограничения наложены на фигуры. Это нужно, чтобы не исследовать случаи, которые не подходят под задачу, и не упустить важное условие. Например, равенство сторон может быть задано, а прямой угол — нет; нельзя молча считать его присутствующим на рисунке. После разбора легче понять, какие случаи стоит сравнивать.
Затем рассмотрите несколько частных случаев: постройте разные фигуры, измерьте нужные величины или выполните вычисления. Сравнение примеров помогает заметить повторяющееся свойство, потому что в нём становятся видны сходства и различия. Но даже много одинаковых результатов не доказывают, что закономерность верна всегда: можно не попасть на особый случай. Поэтому примеры служат источником догадки, а не заменой доказательства.
Обнаруженную закономерность сформулируйте как гипотезу — ясно и с указанием условий. Вместо расплывчатого «площади обычно равны» нужно сказать, о каких фигурах идёт речь и при каких именно условиях предполагается равенство. Точная формулировка позволяет проверить, относится ли к ней каждый новый пример. Кроме того, она задаёт цель дальнейшего доказательства.
Проверьте гипотезу на новых случаях и попробуйте обосновать её известными геометрическими фактами: свойствами углов, сторон, площадей или параллельных прямых. Новые примеры помогают обнаружить ошибку в догадке, а доказательство объясняет, почему вывод следует из условий во всех допустимых случаях. Если найден контрпример, исходная гипотеза неверна. Тогда нужно выяснить, какое условие следует добавить, или отказаться от утверждения.
В завершение запишите итог так, чтобы было ясно, что именно установлено. Отдельно укажите, что вы заметили в примерах, что удалось доказать и при каких условиях верен вывод. Это важно, потому что наблюдение может быть убедительным, но всё ещё не подтверждённым общим рассуждением. Если доказательства нет, честно оставьте результат гипотезой.
| Этап | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Разбор условия | Выделить данные, искомое и ограничения. | Понятно, какие случаи допустимы и что нужно выяснить. |
| Рассмотреть частные случаи | Построить примеры, выполнить измерения или вычисления. | Наблюдения для поиска возможной закономерности. |
| Выдвинуть гипотезу | Точно сформулировать предполагаемое свойство и его условия. | Утверждение, которое можно проверять и доказывать. |
| Проверить гипотезу | Испытать её на новых случаях, искать контрпример и доказательство. | Обоснование гипотезы либо обнаружение её неверности. |
| Сформулировать вывод | Отделить наблюдения от доказанного и указать условия. | Точный итог исследования. |
Пользуйтесь таблицей как планом и переходите к следующему этапу, когда ясно, что получено на предыдущем. Если обнаружен контрпример, вернитесь к формулировке гипотезы и проверьте, можно ли уточнить её условия. В итоговой записи обозначьте, какие результаты доказаны, а какие остались предположениями.
Условие. В нескольких треугольниках измерить углы и сравнить сумму их величин. Сформулировать предположение о сумме углов любого треугольника. Измерения могут быть неточными, поэтому их задача — подсказать гипотезу, а не заменить доказательство.
Ответ. Гипотеза подтверждена доказательством: сумма углов любого треугольника равна 180°. Измерения помогли обнаружить правило, а параллельная прямая позволила обосновать его для всех треугольников. Если измеренные суммы немного отличаются от 180°, причина обычно в погрешности построения и измерения.
Условие. Исследовать, всегда ли медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Равновеликими называют фигуры с равными площадями. Проверить утверждение полезно на треугольнике разной формы, но решающим будет сравнение площадей через формулу.
Ответ. Да, медиана любого треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Равенство следует из общей высоты и равных оснований, а не только из измерения площади на чертеже. Поэтому оно верно и для треугольников, которые сильно отличаются по форме.
Условие. Проверить утверждение: если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник. Чтобы проверить такое общее утверждение, нужно попытаться найти фигуру, которая удовлетворяет условию о диагоналях, но не является прямоугольником. Удобно начать с равнобедренной трапеции.
Ответ. Утверждение неверно: равенства диагоналей недостаточно, чтобы четырёхугольник был прямоугольником. Контрпример — непрямоугольная равнобедренная трапеция. Чтобы получить верное утверждение, нужно добавить условия или рассматривать специальный вид четырёхугольников.
Считать закономерность доказанной после проверки нескольких рисунков — значит подменять общий вывод конечным набором примеров. Так поступают, потому что одинаковые результаты создают впечатление, будто правило обязательно. Но среди непроверенных случаев может быть исключение. Проверяйте себя вопросом: объяснено ли, почему утверждение верно для произвольной фигуры?
Делать вывод только по чертежу ненадёжно: рисунок может быть неточным или показывать лишь один частный случай. Например, наклонная сторона на глаз может казаться перпендикулярной основанию. Эту ошибку допускают, когда изображение принимают за доказательство. Сверьте вывод с условием и подтвердите его определением, вычислением или известным свойством.
Гипотеза без условий или со словом «обычно» не сообщает, что именно требуется доказать. Так формулируют её, когда наблюдения ещё не переведены в точное утверждение. Проверьте себя: можно ли однозначно определить, какие фигуры подходят под условие и какой вывод о них делается? Если нет, уточните формулировку.
Игнорировать контрпример или объявлять его исключением без основания — значит сохранять утверждение вопреки найденному опровержению. Иногда хочется защитить гипотезу, потому что она совпала с несколькими примерами. Но одного подходящего контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть общее утверждение. Убедитесь, что пример удовлетворяет исходным условиям, и затем уточните или отвергните гипотезу.
Для исследования нужны умения, освоенные раньше: разбирать условие геометрической задачи, выполнять чертёж и применять определения и свойства фигур. Выдвижение гипотез и поиск контрпримеров помогают при доказательстве теорем и решении нестандартных задач, где путь к ответу не задан заранее. Тот же подход используют при изучении многоугольников, окружности и геометрических преобразований. Во всех этих темах важно сначала заметить возможное свойство, а затем обосновать его.
Чем исследовательская задача отличается от обычной задачи на доказательство?
В обычной задаче на доказательство утверждение уже дано, а нужно обосновать его. В исследовательской задаче закономерность часто сначала предстоит обнаружить и сформулировать, а затем проверить.
Сколько частных случаев нужно проверить, чтобы заметить закономерность?
Точного числа нет: оно зависит от задачи и от того, насколько разнообразны выбранные случаи. Примеры нужны, чтобы найти возможную закономерность, а не чтобы доказать её.
Почему проверка примеров не считается доказательством?
Даже множество проверенных примеров составляет лишь часть возможных случаев. Среди непроверенных может оказаться случай, для которого утверждение неверно, поэтому требуется общее доказательство.
Как понять, что найденный пример является контрпримером?
Контрпример должен удовлетворять условиям исходного утверждения, но не удовлетворять его выводу. Если такой случай найден, общее утверждение неверно.
Что делать, если гипотеза оказалась неверной?
Нужно проверить контрпример и выяснить, какое условие не учтено или слишком широко сформулировано. Затем гипотезу можно уточнить и снова проверить либо отвергнуть.
Исследовательские задачи
