§ 12. Повороты и вращения

Определения и обозначения

Поворот плоскости — преобразование, при котором каждой точке соответствует точка, полученная поворотом вокруг заданного центра на заданный угол. Иначе говоря, все точки перемещаются согласованно, словно плоскость повернули, не растягивая и не сгибая. Это преобразование используют, чтобы описывать изменение положения фигуры и строить её образ.

Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой выполняется поворот. Её обозначают, например, буквой O; при повороте она совпадает со своим образом. Центр нужен, чтобы знать, вокруг какой точки перемещаются остальные точки плоскости.

Угол поворота задаёт величину и направление движения. Направление указывают словами: по часовой стрелке или против неё; если обозначен только положительный угол, обычно его откладывают против часовой стрелки. Угол помогает точно определить, насколько изменится направление луча от центра к точке.

Ось вращения — прямая, вокруг которой рассматривают вращение фигуры в пространстве. В отличие от центра поворота плоскости, ось не является одной точкой: она задаёт целую линию, вокруг которой движется пространственная фигура. Это различие нужно учитывать, когда речь идёт не о плоском преобразовании, а о движении в пространстве.

Как это устроено

Чтобы найти образ точки A при повороте вокруг O, сначала нужно сохранить её удалённость от центра: образ A′ должен лежать на окружности с центром O и радиусом OA. Затем луч OA поворачивают на заданный угол в указанном направлении. Точка пересечения нового луча с окружностью и есть A′, потому что при повороте меняется направление луча, но не его длина.

Центр остаётся на месте, потому что расстояние от него до самого себя равно нулю и поворот не может изменить это расстояние. Для любой другой точки её образ определяется тем же правилом: сохраняется расстояние до центра, а направление меняется на установленный угол. Поэтому центр, величина угла и направление вместе однозначно задают поворот: для каждой точки они определяют единственное положение образа.

Поворот сохраняет расстояния и углы, поскольку точки фигуры движутся одновременно и на один и тот же угол вокруг общего центра. Отрезки не растягиваются и не сжимаются, а взаимное расположение точек остаётся согласованным. Поэтому длины сторон и величины углов фигуры после поворота не меняются, хотя её положение на плоскости становится другим.

Образ отрезка находят, поворачивая его концы: полученные точки соединяют отрезком. Чтобы построить образ треугольника, отдельно строят образы трёх вершин и соединяют их в прежнем порядке; для многоугольника поступают так же с каждой вершиной. У окружности можно построить образ центра и одной или нескольких характерных точек: радиус сохраняется, поэтому полученная фигура будет такой же окружностью.

При вращении пространственной фигуры вокруг оси каждая точка, не лежащая на оси, движется по окружности. Эта окружность находится в плоскости, перпендикулярной оси, а её центр лежит на оси. Поэтому отдельный шаг такого движения можно рассматривать как поворот точек в соответствующей плоскости вокруг точки пересечения плоскости с осью; сама ось при этом остаётся неподвижной.

Основные характеристики поворота плоскости

Используйте таблицу как проверочный список: перед построением убедитесь, что заданы все три элемента поворота. После построения проверьте, что расстояние до центра сохранилось, а фигура не изменила форму и размеры. Если речь идёт о пространственном движении, не подменяйте центр плоскости осью вращения.

Разбор задач

Построить образ точки A при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки.

Образ должен находиться на том же расстоянии от O, что и A, поэтому он лежит на окружности, проходящей через A. Направление важно: угол отсчитывается от луча OA против часовой стрелки. Выполним построение по шагам.

1. Проведите окружность с центром O и радиусом OA.
2. Поставьте транспортир так, чтобы его центр совпал с O, а начальная сторона угла шла по лучу OA.
3. Отложите 90° против часовой стрелки и проведите новый луч из O.
4. Обозначьте через A′ точку пересечения нового луча с окружностью.

Ответ: A′ — точка пересечения окружности радиуса OA с лучом, полученным поворотом OA на 90° против часовой стрелки. Проверка: OA′ = OA, а угол между лучами OA и OA′ равен 90° в нужном направлении.

Построить образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 60° по часовой стрелке.

Треугольник полностью определяется положением трёх вершин. Поэтому достаточно повернуть A, B и C с одним центром, одним углом и одинаковым направлением, а затем соединить их образы. Нельзя поворачивать вершины на разные углы: тогда получится не образ треугольника при заданном преобразовании.

1. Проведите окружности с центром O и радиусами OA, OB и OC.
2. Для вершины A отложите от луча OA угол 60° по часовой стрелке; пересечение нового луча с окружностью обозначьте A′.
3. Аналогично постройте B′ на окружности радиуса OB и C′ на окружности радиуса OC, каждый раз откладывая 60° по часовой стрелке.
4. Соедините A′, B′ и C′ отрезками в том же порядке, что и исходные вершины.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC. Для проверки сравните соответствующие стороны: поворот сохраняет их длины, а значит, форма и размер треугольника не изменились.

Даны точка A и её образ A′ при повороте. Найти возможный центр поворота, если угол поворота равен 90°.

Центр O должен быть равноудалён от A и A′, поскольку OA = OA′. Значит, он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AA′. Но одного равенства расстояний недостаточно: дополнительно угол между лучами OA и OA′ должен быть 90°.

1. Постройте серединный перпендикуляр к AA′ — на нём могут находиться центры поворота.
2. Обозначьте середину AA′ буквой M и найдите точки на этом перпендикуляре на расстоянии MA от M в обе стороны.
3. Проверьте для каждой найденной точки O, что OA = OA′ и угол AOA′ равен 90°.
4. Если задано направление поворота, оставьте только тот центр, для которого переход от луча OA к OA′ происходит в указанном направлении.

Ответ: при A ≠ A′ возможны два центра — по разные стороны от середины отрезка AA′ на перпендикуляре к нему. Если направление поворота также задано, подходящим будет один из них. При совпадении A и A′ эта конструкция неприменима: поворот на 90° не может оставить эту точку на месте, если она не является центром.

Типичные ошибки

Путают направление поворота. Из-за привычки откладывать углы против часовой стрелки можно случайно построить образ по часовой стрелке. Проверьте, куда переместился луч: сравните его начальное и конечное направления и убедитесь, что угол отложен так, как сказано в условии.

Меняют расстояние до центра. Иногда образ ставят на повернутый луч, но не на окружность радиуса OA. Это происходит, если забыть, что при движении меняется направление, а не удалённость от центра. Для самопроверки измерьте OA и OA′: они должны быть равны.

Считают, что угол обязательно равен 90° или 180°. Такие углы часто встречаются в задачах на симметрию, поэтому их принимают за единственно возможные. На самом деле поворот можно задать любым углом; в условии нужно найти конкретную величину и отложить именно её.

Путают центр поворота с осью вращения. Оба элемента связаны с движением «вокруг», поэтому их легко смешать. Центр — точка на плоскости, а ось — прямая в пространстве. Сверьте, какой объект рассматривается: если все построения идут в плоскости вокруг точки, нужна точка-центр.

Связь с другими темами

Для построения образов при повороте нужны навыки построения углов и окружностей: окружность задаёт неизменное расстояние до центра, а угол — новое направление. Равенство треугольников помогает обосновать, почему повёрнутая фигура не меняет размеры и форму. Поворот относится к движениям плоскости наряду с осевой и центральной симметрией; с их помощью изучают расположение и симметрию фигур. В пространственной геометрии вращение связано с телами вращения, например цилиндром и конусом.

Что запомнить

• Поворот задают центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• Расстояние от точки до центра равно расстоянию от её образа до центра.
• Поворот сохраняет длины отрезков и величины углов.
• Образ фигуры строят по образам её характерных точек.
• Ось вращения — прямая, а центр поворота плоскости — точка.