§ 2. Геометрическая фигура

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — любое множество точек. Множество может состоять из одной точки или из множества точек, расположенных по-разному. Поэтому фигурой называют и точку, и отрезок, и целую область. Такое определение позволяет говорить о разных геометрических объектах через точки, из которых они состоят.

Принадлежность точки фигуре — это отношение между конкретной точкой и фигурой. Запись A ∈ F читают «точка A принадлежит фигуре F», а запись A ∉ F — «точка A не принадлежит фигуре F». Эти знаки помогают коротко записывать результат проверки. Они относятся к одной точке, а не сразу ко всей фигуре.

Равные фигуры — это фигуры, которые можно совместить при наложении. При таком совмещении совпадают все точки одной фигуры со всеми точками другой. Фигуры могут быть изображены в разных местах, но оставаться равными, если их можно точно наложить. Это определение помогает сравнивать сами фигуры, а не только их вид на рисунке.

Пересечение фигур состоит из точек, общих для этих фигур, а объединение — из всех точек, принадлежащих хотя бы одной из них. Чтобы получить пересечение, оставляют только общую часть; для объединения берут обе фигуры целиком. Эти понятия нужны, чтобы точно описывать, как фигуры расположены относительно друг друга. У двух фигур пересечение может оказаться пустым, если общих точек нет.

Как это устроено

Фигуру рассматривают как множество точек, потому что у любой геометрической фигуры можно выяснить, какие точки в неё входят. Например, отрезок состоит из точек между его концами, а прямая — из бесконечного числа точек, расположенных в одном направлении и продолженных в обе стороны. В таком описании не нужно придумывать отдельное определение для каждого рисунка: достаточно говорить о точках. Поэтому геометрией можно изучать и простые объекты, и сложные совокупности точек.

Принадлежность проверяют для конкретной точки: выясняют, находится ли она среди точек данной фигуры. Если на рисунке точка лежит на линии, её относят к этой фигуре; если расположена вне неё — не относят. Результат можно записать знаками ∈ или ∉, чтобы не оставлять сомнений в ответе. Проверка именно одной точки важна: другие точки той же фигуры могут иметь другое положение относительно неё.

Чтобы понять, содержится ли одна фигура в другой, нужно проверить все точки первой фигуры. Если хотя бы одна из них не принадлежит второй, первая фигура целиком в ней не содержится. Например, каждая точка отрезка, лежащего на прямой, находится на этой прямой, поэтому отрезок содержится в прямой. Проверять только концы отрезка недостаточно: условие включения относится ко всем его точкам.

Равенство фигур связывают с наложением, потому что одного сходства на рисунке недостаточно. Две фигуры могут выглядеть одинаково, но отличаться размером, или иметь одинаковые размеры, но разную форму. При наложении проверяется точное совпадение всех точек, а не впечатление от внешнего вида. Если совместить фигуры нельзя так, чтобы они совпали целиком, они не равны.

Пересечение и объединение удобно строить, сравнивая точки двух фигур. Для пересечения оставляют только те точки, которые входят в обе фигуры одновременно; для объединения отмечают всё, что входит хотя бы в одну. Например, у двух пересекающихся кругов их общая часть является пересечением, а оба круга вместе — объединением. Чтобы проверить, входит ли заданная точка в полученную фигуру, применяют соответствующее правило: для пересечения она должна быть в обоих кругах, а для объединения — хотя бы в одном.

Сопоставление понятий о геометрических фигурах

Таблица помогает выбрать нужное понятие по тому, что именно сравнивают: точку, одну фигуру или две фигуры. Сначала определите, какие точки должны войти в результат, и только потом проверяйте условие или выбирайте обозначение. Особенно полезно сопоставлять строки про пересечение и объединение: у них разные правила отбора точек.

Разбор задач

Точка на прямой и точка вне её

Условие: на рисунке изображена прямая, точка A отмечена на ней, а точка B — вне её. Нужно записать, какие точки принадлежат прямой. Здесь важно не перечислить все точки прямой, которых бесконечно много, а указать принадлежность двух отмеченных точек. Обозначим прямую буквой l.

1. Смотрим на положение точки A: она лежит на прямой l.
2. Записываем принадлежность: A ∈ l.
3. Точка B расположена вне прямой, поэтому записываем: B ∉ l.

Ответ: прямой принадлежат отмеченных точек A; точка B ей не принадлежит. Знаки показывают результат отдельно для каждой точки. Если бы точка находилась на самой линии, её следовало бы записать со знаком ∈.

Отрезок и содержащая его прямая

Условие: дан отрезок AB и прямая, содержащая его. Нужно указать, какая фигура содержится в другой, и объяснить почему. Отрезок является частью прямой, но важно обосновать это не только положением концов. Вспомним, что включение фигуры означает принадлежность второй фигуре всех точек первой.

1. Рассматриваем любую точку отрезка AB, а не только точки A и B.
2. По условию отрезок лежит на прямой, значит, каждая его точка принадлежит этой прямой.
3. Следовательно, отрезок AB содержится в прямой; обратное неверно, поскольку у прямой есть точки вне отрезка.

Ответ: отрезок AB содержится в прямой. Обоснование опирается на все точки отрезка, а не на то, что оба его конца находятся на прямой. Прямая не содержится в отрезке, так как продолжается за его пределы.

Пересечение и объединение кругов

Условие: даны два пересекающихся круга. Нужно описать их пересечение и объединение, а затем выяснить, принадлежит ли заданная точка каждой фигуре. Назовём круги C₁ и C₂, а заданную точку P. Само выражение «круги пересекаются» означает, что у них есть общие точки, но ещё не определяет положение P.

1. Пересечение C₁ и C₂ — точки, которые одновременно принадлежат обоим кругам; это их общая часть.
2. Объединение C₁ и C₂ — все точки обоих кругов, в том числе точки, принадлежащие только одному из них.
3. Проверяем P: если P принадлежит обоим кругам, она входит в пересечение; если хотя бы одному — в объединение.

Ответ: пересечение состоит из общих точек кругов, а объединение включает оба круга. Чтобы решить вопрос о точке P, нужно знать её положение: одной принадлежности кругу достаточно для объединения, но для пересечения она должна входить в оба круга. Если P не принадлежит ни одному кругу, она не входит ни в одну из этих фигур.

Типичные ошибки

Ошибка: считать фигурой только линию или замкнутую область. Так думают, потому что на чертежах чаще изображают именно линии и области, но определение охватывает любое множество точек. Проверьте себя: может ли описываемый объект состоять из одной точки? Если да, это тоже фигура.

Ошибка: путать принадлежность точки с включением фигуры. Эти понятия похожи по смыслу, но первое относится к одной точке, а второе — ко всем точкам одной фигуры. Такая путаница возникает, когда не замечают, что сравниваются объекты разного вида. Проверьте, что стоит по одну сторону от отношения: точка или целая фигура.

Ошибка: считать фигуры равными только потому, что они похожи или имеют одинаковые размеры. Внешнее сходство не гарантирует совпадения, а одинаковый размер ещё не означает одинаковую форму. Равенство проверяют возможностью совместить фигуры наложением. Спросите себя: совпадут ли при таком совмещении все точки, а не только отдельные части?

Ошибка: брать все точки обеих фигур для пересечения, а для объединения — только общие. Это происходит, когда значения названий операций смешиваются. Для самопроверки вспомните условия: пересечение требует принадлежности обеим фигурам, объединение — хотя бы одной. Сначала сформулируйте это правило словами, затем отмечайте нужные точки.

Связь с другими темами

Для изучения фигур нужно знать, что точка — основной геометрический объект и обозначается заглавной латинской буквой. Это позволяет записывать принадлежность, например A ∈ F, и точно называть выбранные точки. Без такого обозначения трудно кратко описывать положение объекта.

Понятие фигуры связано с прямой, лучом и отрезком: каждый из них можно рассматривать как множество точек. На этих примерах удобно проверять принадлежность и включение, потому что их точки расположены наглядно. Например, все точки отрезка могут принадлежать прямой, на которой он лежит.

Представление о фигуре как множестве точек пригодится дальше при изучении геометрических мест точек, планиметрических фигур и их свойств. Оно помогает формулировать условия через то, какие точки входят в фигуру. Так становится проще описывать и сравнивать более сложные объекты.

Что запомнить

• Геометрическая фигура — любое множество точек.
• Точка либо принадлежит фигуре, либо не принадлежит ей.
• Фигура содержится в другой, если все её точки принадлежат другой фигуре.
• Равные фигуры можно совместить наложением.
• Пересечение состоит из общих точек фигур.
• Объединение включает точки обеих фигур.