"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Неравенство с одной переменной — условие сравнения выражений, зависящих от неизвестного числа. Решить его значит найти все значения переменной, при которых условие верно. Ответ записывают как множество решений, часто — числовыми промежутками. Чтобы найти это множество, неравенство упрощают равносильными преобразованиями или используют метод интервалов: отмечают нули и точки неопределённости, а затем определяют знак выражения на каждом промежутке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство с одной переменной — это условие сравнения двух выражений, в которые входит одна и та же переменная. Его общий вид можно записать как f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x) или f(x) ≥ g(x), где f и g — выражения с переменной x. Например, 2x + 1 > 5 — неравенство с одной переменной. Это понятие нужно, чтобы описывать не одно неизвестное число, как в уравнении, а целую область допустимых значений.
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Например, x = 4 является решением неравенства 2x > 6, потому что 8 > 6. Одно значение может быть решением, но обычно подходящих чисел бесконечно много. Проверка подстановкой помогает убедиться, что выбранное число действительно подходит.
Множество решений — все значения переменной, при которых неравенство верно. Его можно задать неравенством, перечислением отдельных значений или числовым промежутком: например, x > 3 соответствует промежутку (3; +∞). Круглая скобка означает, что граница не входит в множество. Такая запись показывает ответ целиком, а не только отдельные примеры решений.
Равносильные неравенства — неравенства, множества решений которых совпадают. Например, x + 2 > 5 и x > 3 равносильны, поскольку оба выполняются при одних и тех же значениях x. Равносильные преобразования позволяют упрощать исходную запись, не теряя и не добавляя решений. Поэтому при решении важно следить, чтобы каждый шаг сохранял множество решений.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, их взаимное расположение не изменится: к обоим сравниваемым значениям добавится одинаковая величина. Поэтому знак сохраняется, как и при вычитании одинакового выражения. При умножении на положительное число порядок тоже остаётся прежним. Но отрицательное число меняет порядок на обратный: например, из 2 < 5 следует −2 > −5, поэтому знак при умножении или делении на отрицательное число нужно перевернуть.
Преобразования нужны, чтобы перейти от сложной записи к виду, где решение легче увидеть или определить. Например, можно раскрыть скобки, перенести слагаемые и разложить выражение на множители. Однако не всякое действие автоматически сохраняет равносильность: умножение на выражение с неизвестным знаком может изменить направление сравнения или добавить недопустимые значения. Поэтому выбирают преобразования, для которых понятны условия применимости, и проверяют, что множество решений не изменилось.
Критические точки — значения переменной, где выражение обращается в ноль или перестаёт быть определённым. Для произведения находят нули множителей, а для дроби дополнительно ищут нули знаменателя. На числовой прямой эти значения отмечают и получают промежутки между соседними точками. Внутри каждого такого промежутка знак выражения постоянен: изменить его непрерывно можно только пройдя через ноль или точку, где выражение не существует.
Метод интервалов помогает установить, на каких из полученных промежутков выражение положительно или отрицательно. На каждом промежутке выбирают контрольное значение и определяют знак каждого множителя; затем знаки перемножают, а в дроби учитывают ещё знак знаменателя. Вместо проверки многих значений достаточно одного, потому что внутри промежутка критических точек нет и знак там не меняется. В ответ включают те промежутки, где знак соответствует условию неравенства.
Граничные точки рассматривают отдельно, потому что знак неравенства задаёт, допускается ли равенство нулю. При ≤ или ≥ нули выражения можно включить, если подстановка в исходное выражение допустима; при < или > нули не включают. Точки, в которых знаменатель равен нулю, исключают всегда, поскольку дробь там не определена. Значит, перед записью ответа нужно сверить и знак неравенства, и область определения.
| Ситуация | Основной приём | Что проверить при записи ответа |
|---|---|---|
| Линейное неравенство | Перенести слагаемые и разделить на коэффициент при переменной. | Если коэффициент отрицательный, изменить знак неравенства; верно записать границу и скобку. |
| Неравенство, сводящееся к произведению множителей | Разложить выражение на множители и применить метод интервалов. | Учесть нули множителей и включить их только при нестрогом знаке. |
| Дробно-рациональное неравенство | Найти критические точки числителя и знаменателя, затем составить знаки на промежутках. | Исключить нули знаменателя и верно определить знак дроби. |
| Неравенство с выражением, которое нельзя включать в область определения | Сначала указать ограничения, затем решать неравенство на допустимых значениях. | Не добавлять запрещённые точки, даже если они подходят по знаку после преобразований. |
Сначала определите тип неравенства и ограничения на переменную, затем выберите подходящий приём. После вычислений отдельно проверьте границы промежутков: именно там чаще всего возникают ошибки со скобками. Если использовались преобразования, убедитесь, что они не добавили недопустимых значений.
Задача 1. Решить неравенство 3x − 5 < 7. Это линейное неравенство, поэтому цель — оставить переменную в одной части, а числа в другой. Прибавим 5 к обеим частям: знак сохранится, поскольку прибавляется одно и то же число. Затем разделим обе части на положительное число 3.
Все числа меньше 4 подходят, а само число 4 не подходит из-за строгого знака. Ответ: (−∞; 4).
Задача 2. Решить неравенство (x − 2)(x + 1) ≥ 0. Произведение может быть неотрицательным, когда оба множителя положительны или оба отрицательны. Его знак способен измениться в нулях множителей, поэтому сначала найдём эти значения и разделим прямую на промежутки. Проверка контрольных значений показывает, где произведение положительно.
Ответ: (−∞; −1] ∪ [2; +∞). В промежутках между корнями множители имеют разные знаки, поэтому произведение там отрицательно.
Задача 3. Решить неравенство (x − 3)/(x + 2) < 0. Здесь нужно следить не только за нулём числителя, но и за знаменателем: при x = −2 дробь не определена. Эти две критические точки разделят прямую на три промежутка. По знакам числителя и знаменателя найдём, где дробь отрицательна.
Ответ: (−2; 3). Граница −2 исключена из-за нулевого знаменателя, а 3 — потому что там дробь равна нулю, а не отрицательна.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют знак неравенства прежним. Ошибка возникает, если помнить действие над числами, но забыть, что отрицательное умножение обращает порядок. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Проверяйте знак делителя или множителя перед преобразованием: если он отрицателен, переверните знак.
В методе интервалов можно неверно определить знак на одном из промежутков, особенно если множителей несколько. Обычно это происходит из-за попытки угадать знак без проверки. Возьмите контрольное число внутри промежутка и подставьте его в каждый множитель, а затем перемножьте полученные знаки. Так можно проверить вывод, не подставляя сразу сложное число в длинное выражение.
Иногда в ответ включают точку, где знаменатель равен нулю. Её можно ошибочно принять за обычный нуль выражения или включить из-за знака ≤ либо ≥. Но при нулевом знаменателе дробь не существует, поэтому никакой знак неравенства не делает точку допустимой. Перед выбором промежутков отдельно выпишите область определения и перечеркните запрещённые значения.
Границы промежутков включают или исключают механически, не проверяя условие. Причина — внимание только к корням и недостаточное внимание к строгому или нестрогому знаку. Для каждой граничной точки выясните, определено ли выражение и равно ли оно нулю. При ≤ или ≥ допустимый нуль включают, а при < или > исключают; недопустимую точку не включают никогда.
Для решения неравенств нужны навыки преобразования выражений и решения уравнений: с их помощью находят нули множителей и критические точки. Также понадобится умение отмечать промежутки на числовой прямой и читать их обозначения. Решения неравенств применяют при исследовании функций, например чтобы выяснить, где функция положительна или убывает при заданном условии. Неравенства помогают находить области определения и решать системы, где условия должны выполняться одновременно.
Когда при преобразовании неравенства нужно менять его знак?
Знак меняют при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Прибавление одного и того же выражения или умножение на положительное число знак сохраняют.
Как выбрать контрольную точку для проверки знака на промежутке?
Возьмите любое число внутри промежутка, не совпадающее с его границами. Удобнее выбирать число, для которого легко вычислить знаки множителей.
Почему нуль знаменателя нельзя включить в ответ?
При нуле знаменателя дробь не определена, поэтому исходное неравенство в этой точке не имеет смысла. Такую точку исключают независимо от знака неравенства.
Как понять, нужно ли включать граничную точку в решение?
Сначала проверьте, определено ли в ней выражение. Если точка допустима, подставьте её: при знаках ≤ или ≥ точка, где выражение равно нулю, включается, а при знаках < или > — нет.
Что делать, если после преобразований получилось произведение нескольких множителей?
Найдите нули каждого множителя и отметьте их на числовой прямой. Затем определите знак произведения на промежутках и выберите те, где выполняется нужное неравенство.
§ 25. Решение неравенств с одной переменной
