"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Система уравнений объединяет несколько уравнений с общими неизвестными: найденные значения должны подходить каждому из них одновременно. Системы помогают находить общие решения разных условий — например, точки пересечения графиков или координаты точек геометрической фигуры. Решать их можно подстановкой, сложением уравнений или графически. После вычислений необходимо проверить, что найденная пара удовлетворяет исходным уравнениям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — это несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе с x и y значения этих переменных ищут не отдельно для каждого равенства, а такие, чтобы подошли всем сразу. Это определение помогает отличать систему от набора несвязанных уравнений.
Решение системы — набор значений неизвестных, который обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Для двух переменных решением обычно служит пара чисел (x; y), а не одно число. Это понятие нужно, чтобы понимать, что именно требуется найти и что записывать в ответе.
Множество решений системы — все наборы значений, удовлетворяющие одновременно всем её уравнениям. Оно может быть пустым, если подходящих наборов нет, или содержать несколько решений. Такое понятие позволяет описать результат целиком, а не ограничиваться одним найденным набором.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Их уравнения могут выглядеть по-разному, но подходящие наборы значений у них совпадают. Равносильность нужна, чтобы оценивать, сохраняет ли преобразование исходные решения.
Пару значений проверяют сразу в каждом уравнении, потому что система задаёт несколько условий одновременно. Если пара подходит только одному равенству, хотя бы одно из условий остаётся нарушенным. Поэтому проверка одного уравнения не подтверждает, что найдено решение системы. Например, после вычислений подставь оба числа по очереди во все исходные равенства.
Графики уравнений с двумя неизвестными показывают, какие пары чисел подходят каждому равенству по отдельности. Точка пересечения принадлежит обоим графикам, а значит, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Поэтому общие точки графиков соответствуют решениям системы. Если пересечений несколько, система имеет несколько решений, а если их нет — решений нет.
При решении уравнение иногда заменяют равносильным, например умножают обе части на одно и то же ненулевое число. Допустимо и одинаковое обратимое преобразование системы: оно позволяет перейти к более простому виду, не меняя множество решений. Причина в том, что при обратимом шаге можно вернуться к исходным уравнениям. Но преобразование, которое может исключить случай или добавить лишний, требует отдельной проверки.
Метод подстановки сводит систему к уравнению с одной неизвестной. Сначала из уравнения, где переменную выразить проще, получают формулу для неё, а затем подставляют эту формулу в другое уравнение. Так две неизвестные заменяются одной, которую можно найти обычными способами. После этого выражение используют ещё раз, чтобы восстановить вторую переменную.
Метод сложения позволяет исключить неизвестную, если коэффициенты при ней можно сделать противоположными. Для этого уравнения складывают или вычитают, иногда предварительно умножив одно или оба равенства на подходящие числа. При сложении противоположные слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся уравнение с одной переменной. Найдя её, подставляют значение в исходное уравнение и находят другую.
| Способ | Основная идея | Когда удобно применять | Что проверить в ответе |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну переменную и подставить выражение в другое уравнение. | Когда переменную легко выразить, особенно если её коэффициент равен 1 или −1. | Восстановить вторую переменную и проверить пару во всех исходных уравнениях. |
| Сложение уравнений | Сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить одну переменную. | Когда коэффициенты при переменной уже противоположны или их просто сделать такими. | Найти исключённую переменную и подставить пару в исходную систему. |
| Графический способ | Построить графики и найти их общие точки. | Когда нужно наглядно оценить число решений или графики легко построить. | Учесть все точки пересечения; для точного ответа подтвердить координаты вычислением. |
Сначала посмотри на вид уравнений и выбери способ, который уменьшит количество вычислений. Таблица подсказывает, какие преобразования ожидаются и где особенно легко потерять решение. Какой бы способ ни был выбран, в конце проверь ответ по исходной системе.
В задачах ниже показаны три ситуации: исключение переменной сложением, сведение системы к квадратному уравнению и поиск пересечения прямой с окружностью. В каждом случае вычисления должны привести к полному набору координат или значений. Проверка в исходных уравнениях подтверждает, что найденные числа действительно подходят.
Решить систему x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому при сложении эта переменная исчезнет. После нахождения x останется восстановить y и проверить обе части решения.
Ответ: (4; 3). При сложении исчезла y, но её значение всё равно нужно было найти. Проверка показывает, что пара подходит одновременно обоим условиям.
Решить систему y = x², y = 2x + 3. Оба выражения равны y, значит, они равны друг другу. Получится квадратное уравнение, а каждый его корень задаст отдельную возможную точку пересечения графиков.
Ответ: (3; 9) и (−1; 1). Оба корня квадратного уравнения дают решения системы, поэтому нельзя останавливаться на первом найденном значении. Подстановка каждого x в исходные формулы для y помогает не потерять пару.
Найти точки пересечения окружности x² + y² = 25 и прямой y = x + 1. Координаты точки должны удовлетворять обоим уравнениям, поэтому выражение для y можно подставить в уравнение окружности. После нахождения x нужно вычислить соответствующие значения y.
Ответ: точки (−4; −3) и (3; 4). Квадратное уравнение дало два значения x, и оба привели к точкам на прямой и окружности. Проверка подтверждает, что найдены все точки пересечения.
Ошибка: считать решением пару, которая удовлетворяет только одному уравнению. Так происходит, если при вычислениях проверяют лишь равенство, из которого нашли переменную, и забывают остальные условия. Подставь пару во все уравнения системы: решение должно дать верное равенство в каждом.
При подстановке можно потерять один из корней или неверно восстановить вторую переменную. Обычно это случается, когда квадратное уравнение имеет два корня, а найденный x не подставляют обратно в выражение для y. Выпиши каждую пару отдельно и проверь обе координаты в исходных уравнениях.
Опасно делить обе части на выражение с неизвестной, не проверив, может ли оно быть равно нулю. Если оно равно нулю, деление недопустимо, а соответствующий случай может дать решение, которое потеряется. Сначала рассмотри случай, когда делитель равен нулю, и только затем дели при условии, что он не равен нулю.
На графике легко принять приблизительные координаты точки пересечения за точные или заметить не все пересечения. Причина в том, что рисунок зависит от масштаба, а дальняя точка может остаться вне видимой области. Используй график для оценки числа и расположения решений, а точные координаты найди вычислением и проверь по уравнениям.
Для решения систем нужны навыки работы с линейными и квадратными уравнениями, преобразования выражений и координатной плоскостью. Если эти действия знакомы, подстановка и сложение превращаются в последовательность уже известных вычислений. Координатная плоскость помогает представить уравнения как графики и увидеть их общие точки.
Системы применяют в текстовых задачах, когда несколько условий связывают одни и те же величины. Они также помогают находить пересечения графиков и исследовать геометрические объекты, заданные уравнениями, например прямую и окружность. Общий принцип один: искомые значения должны выполнять все заданные условия одновременно.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Решение одного уравнения должно удовлетворять только этому уравнению. Решение системы — набор значений, который подходит каждому уравнению одновременно. Поэтому найденную пару проверяют по всем уравнениям системы.
Может ли система уравнений не иметь решений?
Да. Например, графики уравнений могут не пересекаться, и тогда нет общей пары значений, которая удовлетворяла бы им обоим. Множество решений такой системы пусто.
Как понять, сколько решений имеет система по графикам?
Нужно посчитать общие точки графиков уравнений системы. Каждая такая точка задаёт одно решение: координаты точки являются значениями неизвестных. Если общих точек нет, решений нет.
Когда удобнее использовать подстановку, а когда сложение?
Подстановка удобна, если из одного уравнения легко выразить одну переменную. Сложение выбирают, когда коэффициенты при неизвестной можно сделать противоположными и исключить её. Если подходящих преобразований не видно, можно рассмотреть графический способ.
Зачем проверять найденную пару в исходной системе?
Проверка помогает обнаружить вычислительную ошибку или значение, появившееся после преобразования, которое не подходит исходным условиям. Подставь пару в каждое исходное уравнение и проверь равенства. Только после этого записывай ответ.
§ 27. Системы уравнений
