"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Показательные уравнения и неравенства — задачи, в которых неизвестная находится в показателе степени. Чтобы их решить, приводят степени к общему основанию или заменяют выражение вида aˣ новой переменной. Направление неравенства зависит от основания: при a > 1 показательная функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Эти приёмы помогают находить решения и проверять, какие значения действительно допустимы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в показатель степени, например 2ˣ = 8 или 3ˣ + 3 = 12. В стандартной записи основания степеней положительны, а для сравнения показателей основание не равно 1. Это определение помогает сразу распознать, что обычные способы решения линейных уравнений могут не подойти.
Показательное неравенство — неравенство, где переменная находится в показателе степени, например 2ˣ > 4. Для действительных показателей основание должно быть положительным, а поведение выражения зависит от того, больше оно единицы или меньше. Это условие нужно учитывать, прежде чем сравнивать показатели.
Равносильное преобразование — действие, после которого множество решений не меняется. Например, равенство степеней с одинаковым допустимым основанием можно заменить равенством их показателей. Такие преобразования позволяют перейти от показательной записи к знакомым уравнениям и не потерять корни.
Монотонность показательной функции описывает, как меняется значение aˣ при увеличении x. При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Это свойство объясняет, почему при решении неравенств иногда сохраняют знак, а иногда меняют его.
Если две степени имеют одинаковое основание a, где a > 0 и a ≠ 1, то равенство aᵘ = aᵛ сводится к равенству u = v. Причина в том, что функция aˣ строго возрастает или строго убывает, поэтому разные показатели не могут дать одно и то же значение. Сначала важно привести обе части к одному основанию, и лишь затем приравнивать показатели.
Чтобы привести степени к общему основанию, представляют числа как степени одного числа: например, 16 = 2⁴. После этого, если основания совпадают, решают уравнение для показателей. Приём сразу находит корень, когда обе части действительно записаны как степени одного основания, например 2ˣ⁺¹ = 2⁴ превращается в x + 1 = 4.
Некоторые уравнения содержат несколько степеней, которые можно выразить через одно выражение, например aˣ: тогда a²ˣ = (aˣ)². Замена t = aˣ превращает исходное уравнение в квадратное относительно t, которое решают привычным способом. Но t не может быть нулём или отрицательным, потому что aˣ > 0; подходящие корни t затем подставляют в замену и находят x.
При одинаковом основании a > 1 показательная функция возрастает. Поэтому из aᵘ > aᵛ следует u > v: порядок значений функции совпадает с порядком показателей. Если 0 < a < 1, функция убывает, и из aᵘ > aᵛ следует u < v; направление знака меняется именно из-за убывания.
В неравенстве, которое после замены t = aˣ становится квадратным или линейным, сначала решают задачу для t. Затем пересекают полученное множество с условием t > 0, поскольку отрицательных и нулевых значений показательная функция не принимает. Для найденных положительных промежутков возвращаются к выражению aˣ и используют его монотонность, чтобы получить ограничения на x.
Сопоставляйте вид задачи с подходящим способом и отдельно проверяйте ограничения на основание и новую переменную. Таблица показывает, какой шаг обычно становится решающим. Проверка в последнем столбце помогает не включить в ответ недопустимые значения.
| Вид задачи | Основной приём | Условия и ограничения | Что проверить в ответе |
|---|---|---|---|
| Одинаковое основание в уравнении | Приравнять показатели | Основание a > 0, a ≠ 1 | Полученный корень удовлетворяет исходному уравнению |
| Уравнение сводится к квадратному относительно aˣ | Ввести t = aˣ и решить квадратное уравнение | Оставить только t > 0 | Для каждого t решить уравнение aˣ = t |
| Неравенство с одинаковым основанием больше 1 | Сравнить показатели, сохранив знак | a > 1, функция возрастает | Решение неравенства для показателей |
| Неравенство с одинаковым основанием между 0 и 1 | Сравнить показатели, изменив знак | 0 < a < 1, функция убывает | Направление знака после перехода |
| Замена переменной в неравенстве | Заменить aˣ на t и решить неравенство | Обязательно учесть t > 0 | Перейти от найденных t к значениям x |
Правая часть пока не записана как степень с основанием 2, поэтому сначала приводим её к такому виду. После этого основания совпадут и можно будет сравнить показатели. Полученное линейное уравнение решается одним действием.
Ответ: x = 3.
В уравнении встречаются степени 3ˣ и 3²ˣ, причём вторая равна квадрату первой. Поэтому выражение можно рассматривать как квадратное относительно 3ˣ. Введём новую переменную, найдём её допустимые значения, а потом вернёмся к x.
Ответ: x = 0 или x = 2.
Основания слева и справа одинаковы, но ½ находится между 0 и 1. Значит, показательная функция убывает и при переходе к показателям знак неравенства изменится. Останется решить квадратное неравенство и записать его решение промежутком.
Ответ: x ∈ [1; 2].
Приравнивают показатели, не приведя степени к одному и тому же основанию. Это делают, заметив похожую запись, но основания могут быть разными, и правило тогда неприменимо напрямую. Перед сравнением проверьте, что обе части записаны как степени одного числа a > 0, a ≠ 1.
В неравенстве при основании от 0 до 1 оставляют знак без изменения. Ошибка возникает, если помнить только правило для возрастающей функции и не проверить основание. Подставьте, например, показатели 1 и 2: (½)¹ > (½)², хотя 1 < 2; это показывает, что порядок обратный.
При замене t = aˣ рассматривают отрицательные значения t или t = 0. Так происходит, если решать квадратное уравнение и забыть, откуда появилась новая переменная. Перед возвращением к x оставьте только корни, удовлетворяющие t > 0.
После замены не возвращаются к исходному выражению или не проверяют найденные корни. Корни уравнения для t сами по себе ещё не являются ответом для x, а некоторые значения могут быть недопустимы. Для каждого оставшегося t решите aˣ = t и проверьте результат в исходной задаче.
Для решения показательных задач нужны свойства степеней, а также навыки решения линейных и квадратных уравнений и неравенств. Представление о возрастании и убывании функций объясняет, почему в показательных неравенствах меняется направление знака. Эти способы пригодятся при изучении показательной функции и логарифмов, а также при описании процессов роста и убывания, например изменения величины со временем.
Почему при решении уравнения можно приравнять показатели степеней?
Если основания одинаковы и a > 0, a ≠ 1, функция aˣ принимает каждое своё значение только при одном показателе. Поэтому из равенства aᵘ = aᵛ следует u = v.
Когда знак неравенства нужно менять?
Знак меняют, когда сравнивают показатели степеней с одинаковым основанием 0 < a < 1. Такая показательная функция убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньший показатель.
Почему при замене t = a^x значение t должно быть положительным?
При любом действительном x и положительном основании a степень aˣ положительна. Поэтому замена может принимать только значения t > 0, а неположительные корни уравнения для t нужно отбросить.
Как понять, что уравнение можно свести к квадратному относительно a^x?
Проверьте, можно ли представить все степени как степени одного выражения aˣ: например, a²ˣ = (aˣ)². Если после такой записи уравнение имеет вид A(aˣ)² + B(aˣ) + C = 0, подходит замена t = aˣ.
Нужно ли проверять корни после замены переменной?
Да. Сначала исключите значения, невозможные для новой переменной, например t ≤ 0 при t = aˣ. Затем вернитесь к исходной записи и решите уравнения для x, чтобы получить окончательный ответ.
§ 8. Показательные уравнения и неравенства
