§ 4. Квантовые числа

Определения и обозначения

Главное квантовое число n — положительное целое число, задающее энергетический уровень электрона и размер электронного облака. Чем больше n, тем дальше в среднем от ядра может находиться электрон и тем выше обычно его энергия. Это число помогает определить, к какому уровню относится электрон.

Орбитальное квантовое число l — целое число от 0 до n − 1, связанное с орбитальным моментом импульса и формой атомной орбитали. Оно показывает, к какому подуровню относится электрон: s, p, d или f. По l можно понять, какой тип орбитали рассматривается.

Магнитное квантовое число mₗ — целое число от −l до +l, определяющее возможную ориентацию орбитали в пространстве. Каждое его значение соответствует одной орбитали данного подуровня. Поэтому по mₗ можно найти число орбиталей на подуровне.

Спиновое магнитное квантовое число mₛ — проекция собственного момента импульса электрона. Для электрона возможны только значения +½ и −½. Это число позволяет различать два электрона, которые занимают одну орбиталь.

Как это устроено

Квантовые числа появляются, когда состояние электрона описывают с помощью квантовой механики. Электрон в атоме нельзя считать маленьким шариком, который движется по точно заданной дорожке вокруг ядра. Вместо такой траектории теория задаёт волновое состояние и вероятность обнаружить электрон в разных областях пространства. Решения уравнения, описывающего это состояние, допускают только определённые значения характеристик; их и обозначают квантовыми числами.

Число n указывает энергетический уровень, потому что допустимая энергия электрона в атоме принимает не любые, а определённые значения. С повышением n электрон обычно сильнее удалён от ядра, а электронное облако занимает большую область. При этом слово «обычно» существенно: точные энергии и размеры зависят также от заряда ядра и других электронов. Тем не менее n удобно использовать, чтобы различать основные уровни.

Для каждого выбранного n возможны только значения l от 0 до n − 1. Это ограничение возникает из условий, которым должны удовлетворять допустимые волновые состояния: не всякая форма электронного облака совместима с данным уровнем. Значение l задаёт подуровень и связано с орбитальным моментом импульса. Условные буквы помогают быстро обозначать тип подуровня: l = 0 — s, l = 1 — p, l = 2 — d, l = 3 — f.

При фиксированном l число mₗ может быть любым целым от −l до +l, включая ноль. Поэтому число возможных значений, а значит, орбиталей на подуровне, равно 2l + 1: например, при l = 1 есть три значения mₗ. Они соответствуют возможным ориентациям орбиталей, а не разным энергиям во всех условиях: в отсутствие внешнего воздействия такие орбитали могут иметь одинаковую энергию. Наконец, электрон обладает собственным моментом импульса — спином; его проекция mₛ имеет два значения. Четыре числа вместе задают состояние, а принцип Паули запрещает двум электронам в атоме иметь один и тот же набор всех четырёх чисел.

Квантовые числа электрона в атоме

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала задайте n, затем выберите допустимое l, после него — mₗ. Значение mₛ всегда проверяйте отдельно: оно должно быть +½ или −½.

Разбор задач

Задача 1. Укажите возможные значения l при n = 3 и назовите соответствующие подуровни.

1. По правилу для орбитального числа нужно взять целые значения от 0 до n − 1. Подставляем n = 3: верхняя граница равна 3 − 1 = 2. Значит, подходят l = 0, 1, 2.

2. Каждому значению l соответствует буквенное обозначение подуровня. При l = 0 это s, при l = 1 — p, при l = 2 — d. Следовательно, на третьем уровне возможны подуровни 3s, 3p и 3d.

Ответ: l = 0, 1, 2; подуровни 3s, 3p, 3d.

Задача 2. Для подуровня 3d определите l, все возможные значения mₗ и число орбиталей.

1. Буква d соответствует орбитальному числу l = 2, а цифра 3 указывает главное число n = 3. Проверяем допустимость: для n = 3 значения l могут быть 0, 1 или 2, поэтому подуровень 3d разрешён.

2. Магнитное число идёт от −l до +l с шагом 1. При l = 2 получаем mₗ = −2, −1, 0, +1, +2. Здесь пять целых значений.

3. Число орбиталей можно также проверить по формуле 2l + 1. Подставляем l = 2: 2 · 2 + 1 = 5, что совпадает с количеством перечисленных значений.

Ответ: l = 2; mₗ = −2, −1, 0, +1, +2; на подуровне пять орбиталей.

Задача 3. Проверьте набор n = 3, l = 2, mₗ = −1, mₛ = +½ и определите, может ли в том же атоме быть электрон с набором 3, 2, −1, +½.

1. Сначала проверяем главное число: n = 3 — положительное целое, значит, условие выполнено. Для n = 3 допустимы l = 0, 1, 2, поэтому l = 2 также допустимо. Это соответствует d-подуровню.

2. При l = 2 магнитное число должно быть целым от −2 до +2. Значение mₗ = −1 подходит, а mₛ = +½ является одним из двух допустимых спиновых значений. Следовательно, исходный набор разрешён.

3. Во втором наборе перечислены те же четыре числа. По принципу Паули двум электронам в одном атоме нельзя иметь совпадающие все четыре квантовых числа. Значит, другой электрон с таким же набором в том же атоме находиться не может.

Ответ: набор допустим; второго электрона с теми же четырьмя квантовыми числами в атоме быть не может.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что l может принимать значения от 0 до n. Так допускают верхнюю границу, которая на самом деле не включается: максимально возможное l равно n − 1. Ошибка возникает, если правило запомнили без вычитания единицы. Для проверки подставьте самое большое значение l и убедитесь, что оно меньше n.

Ошибка: перечислять для mₗ только неотрицательные числа. Магнитное число включает и отрицательные значения: при l = 1 допустимы −1, 0 и +1. Часто путают знак числа с тем, что оно просто нумерует орбитали. Проверяйте границы: диапазон всегда начинается с −l и заканчивается +l.

Ошибка: путать число орбиталей с числом электронов на подуровне. Формула 2l + 1 даёт число орбиталей, а не электронов. На каждой орбитали могут находиться два электрона с противоположными значениями mₛ, поэтому число электронов может быть вдвое больше числа орбиталей. Проверяйте, о чём спрашивают: об орбиталях или об электронах.

Ошибка: представлять квантовые числа как описание точной орбиты электрона. Такое представление переносят из модели движения планет, но электрон в атоме описывается волновым состоянием и вероятностью обнаружения. Квантовые числа задают характеристики этого состояния, а не маршрут частицы. Если в объяснении появляется точная траектория вокруг ядра, значит, классическая модель применена неверно.

Связь с другими темами

Для понимания квантовых чисел нужны представления о строении атома, энергетических уровнях и электронном облаке. Уровни помогают понять смысл n, а облако — почему состояние электрона нельзя свести к точной траектории. Квантовые числа затем используют при записи электронных конфигураций и распределении электронов по орбиталям. Принцип Паули связывает эти числа с тем, какие электроны могут занимать одно состояние.

Что запомнить

• Главное квантовое число n — целое положительное число.
• Для заданного n: l = 0, 1, …, n − 1.
• Для заданного l: mₗ = −l, …, 0, …, +l.
• Число орбиталей на подуровне равно 2l + 1.
• Для электрона mₛ равно +½ или −½.
• Набор четырёх квантовых чисел задаёт состояние электрона.
• В атоме не бывает двух электронов с одинаковым набором всех четырёх квантовых чисел.