§ 23. Представление целых чисел в памяти компьютера

Определения и обозначения

Бит, или разряд, — двоичный разряд, принимающий значение 0 или 1. Один бит хранит минимальный объём информации, а несколько битов образуют код числа. Например, 8 битов дают 256 возможных комбинаций, поэтому число битов задаёт объём памяти и число доступных кодов.

Разрядная сетка — фиксированная последовательность битов, выделенная для хранения числа. Её длина заранее определяет, сколько комбинаций можно использовать. Поэтому 4-битная и 8-битная сетки представляют разные диапазоны, даже если записываемое число одно и то же.

Беззнаковое представление — способ кодирования целого числа, при котором все биты задают его неотрицательное значение. Отдельного знакового разряда здесь нет: каждый разряд имеет вес степени двойки. Такой формат удобен, когда отрицательные значения не нужны.

Дополнительный код — способ представления целых чисел со знаком, при котором положительные и отрицательные значения помещаются в одну разрядную сетку. Благодаря этому сложение выполняется одной двоичной операцией. Старший разряд помогает определить, относится ли код к неотрицательному или отрицательному числу.

Как это устроено

Двоичное число раскладывается по разрядам так же, как десятичное, только основаниями служат степени двойки. Справа налево разряды имеют веса 2⁰, 2¹, 2² и так далее, а значение числа получают сложением весов тех позиций, где стоят единицы. Компьютеру нужна заранее заданная длина, потому что без неё неясно, где начинаются и заканчиваются данные и сколько памяти следует выделить.

В беззнаковом кодировании каждый из n разрядов вносит вклад 0 или соответствующую степень двойки. Максимум получается, когда все биты равны единице: 2⁰ + 2¹ + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1. Поэтому диапазон n-битного беззнакового числа — от 0 до 2ⁿ − 1, а добавление ведущих нулей меняет длину записи, но не значение.

В дополнительном коде неотрицательные числа записываются обычным двоичным способом с ведущими нулями. Для n битов старший разряд имеет особую роль: если он равен 0, код читается как неотрицательный, а если равен 1, код относится к отрицательным. Один код при этом выделяется под минимальное отрицательное число, поэтому диапазон получается несимметричным.

Чтобы получить код отрицательного числа, сначала записывают в сетке его положительный модуль. Затем каждый бит заменяют противоположным: 0 превращается в 1, а 1 — в 0, после чего к результату прибавляют 1. Прибавление единицы превращает обратный код в дополнительный и обеспечивает правильную работу обычного двоичного сложения.

Разрядная сетка не расширяется сама во время вычисления, поэтому результат может оказаться за её пределами. Например, в 8-битном формате со знаком нельзя представить 128, поскольку максимальное положительное значение равно 127. Если математический результат не входит в диапазон, возникает переполнение: сохранённый код остаётся, но его значение уже не совпадает с ожидаемым.

Представление целых чисел в разрядной сетке из n битов

Сначала определите, какой формат используется: одинаковая последовательность битов в двух форматах может означать разные числа. Затем найдите диапазон по числу разрядов и сравните с результатом вычисления. Таблица особенно полезна при проверке знака старшего бита и выявлении переполнения.

Разбор задач

Задача 1. Представьте число 13 в беззнаковом виде с использованием 8 битов.

Нужно получить двоичную запись числа и привести её к длине ровно 8 битов. В беззнаковом формате знак отдельно не кодируется, поэтому все разряды используются для значения.

1. Разложим 13 на степени двойки: 13 = 8 + 4 + 1 = 2³ + 2² + 2⁰.
2. Поставим единицы в разрядах 3, 2 и 0, а в разряде 1 оставим ноль: 13 = 1101₂.
3. Дополняем запись слева нулями до восьми разрядов: 00001101₂.

Ответ: 13₁₀ = 00001101₂ в 8-битном беззнаковом представлении.

Задача 2. Представьте число −13 в дополнительном коде с использованием 8 битов.

Сначала кодируется модуль числа, то есть 13, а знак учитывается последующими действиями. Все операции выполняются внутри восьмиразрядной сетки.

1. Записываем модуль: 13 = 00001101₂.
2. Инвертируем все биты: 11110010₂.
3. Прибавляем единицу: 11110010₂ + 1 = 11110011₂.

Ответ: −13₁₀ представляется кодом 11110011₂. Старший бит равен 1, что согласуется с отрицательным результатом.

Задача 3. Выполните сложение 01111111₂ + 00000001₂ как восьмиразрядных чисел со знаком и определите, можно ли считать полученный результат верным.

Оба операнда имеют старший бит 0, поэтому в дополнительном коде они неотрицательны. Их значения равны 127 и 1, а математическая сумма равна 128. Однако диапазон восьмиразрядных чисел со знаком ограничен значениями от −128 до 127.

1. Складываем коды: 01111111₂ + 00000001₂ = 10000000₂.
2. Полученный старший бит равен 1, поэтому код 10000000₂ читается как −128, а не как +128.
3. Число 128 не входит в допустимый диапазон, значит, при сложении произошло переполнение.

Ответ: двоичная операция дала код 10000000₂, но считать его верным представлением суммы 127 + 1 нельзя. Правильный вывод — произошло переполнение.

Типичные ошибки

Считать старший бит знаком всегда. Так ошибаются, перенося правило дополнительного кода в беззнаковый формат. В беззнаковой записи этот бит имеет обычный вес; проверьте сначала выбранный способ кодирования.

Добавлять знак минус к двоичному модулю. Запись вроде −00001101 не является кодом, который хранится в фиксированной сетке. Для проверки инвертируйте модуль и прибавьте единицу.

Забывать прибавить 1 после инверсии. Инверсия даёт обратный код, а не дополнительный. После инверсии выполните сложение с единицей, сохраняя число разрядов.

Считать любое двоичное сложение верным. Лишний перенос не расширяет сетку, а результат может выйти из диапазона. Сравните математическую сумму с допустимыми границами и проверьте изменение знака.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны позиционная запись чисел, степени двойки и перевод между десятичной и двоичной системами счисления. Эти навыки позволяют читать веса разрядов и строить коды без механического запоминания.

Представление чисел объясняет, как процессор хранит данные и выполняет арифметические операции в регистрах и ячейках памяти. Формат кода определяет, как одна и та же последовательность битов будет интерпретирована.

Тема связана с переполнением, разрядностью типов данных и точностью вычислений в программах. Понимание диапазонов помогает заранее замечать ошибки при выборе типа и выполнении операций.

Что запомнить

• Число хранится в двоичной разрядной сетке фиксированной длины.
• Для n битов беззнаковый диапазон равен от 0 до 2ⁿ − 1.
• В дополнительном коде неотрицательные числа записываются обычным двоичным способом с ведущими нулями.
• Отрицательное число в дополнительном коде получают инверсией битов модуля и прибавлением 1.
• Диапазон n-разрядных чисел в дополнительном коде: от −2ⁿ⁻¹ до 2ⁿ⁻¹ − 1.
• Переполнение возникает, если математический результат не входит в диапазон выбранной разрядной сетки.