Лабораторная работа № 3 (к § 11) Системы счисления с основанием, равным степени числа 2

Определения и обозначения

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется её местом в записи числа. Например, запись 352₁₀ означает 3 · 10² + 5 · 10¹ + 2 · 10⁰: одинаковые цифры в разных разрядах имеют разный вес. Такая запись позволяет понять, как именно разряды связаны с основанием системы.

Основание системы счисления — число, задающее допустимые цифры и веса разрядов. В системе с основанием b используются цифры от 0 до b − 1, а веса разрядов представляют собой степени b. Основание нужно учитывать при чтении и переводе записи, потому что набор символов сам по себе не всегда показывает, какое число записано.

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2, в которой используются только цифры 0 и 1. Вес каждого следующего разряда слева вдвое больше предыдущего, поэтому запись удобно связывать с наборами двоичных разрядов. Индекс ₂ после числа указывает, что оно записано именно в этой системе.

Системы счисления с основанием, равным степени числа 2, имеют основания 4, 8, 16 и другие числа вида 2ⁿ. Их цифры можно соотнести с группами двоичных разрядов одинаковой длины: например, восьмеричные — с тройками, шестнадцатеричные — с четвёрками. Эта связь нужна, чтобы сокращённо записывать длинные двоичные числа и быстро возвращать их в двоичную форму.

Как это устроено

Пусть основание системы равно 2ⁿ. Тогда её цифры имеют значения от 0 до 2ⁿ − 1, а группа из n двоичных разрядов может обозначить ровно столько же разных значений. Поэтому одной цифре новой системы соответствует одна двоичная группа фиксированной длины. Например, три бита кодируют числа от 0 до 7, что совпадает с набором восьмеричных цифр.

Чтобы перевести целое двоичное число в систему с основанием 2ⁿ, запись делят справа налево на группы по n разрядов. Начинают с правого края, потому что он соответствует младшим разрядам, и каждая тройка или четвёрка сохраняет своё место в записи. Если самая левая группа неполная, к ней слева приписывают нули: значение числа не меняется, а группа становится полной.

Обратный перевод выполняют заменой каждой цифры группы из n битов. Для восьмеричной системы каждой цифре сопоставляют три разряда, а для шестнадцатеричной — четыре, даже когда в начале группы стоят нули. Фиксированная длина важна, поскольку без ведущих нулей границы групп могут сместиться, и исходное число окажется записано неверно.

У дробного числа целую и дробную части обрабатывают отдельно, поскольку их разряды направлены от запятой в разные стороны. Целую часть группируют от запятой влево, а дробную — от запятой вправо; последнюю неполную дробную группу дополняют нулями справа. Нули ставят именно с внешнего края группы, чтобы не сдвинуть значащие разряды относительно запятой и не изменить число.

Значение двоичной группы находят как сумму её разрядов, умноженных на степени 2, начиная с нулевой степени справа. Получившееся значение записывают одной цифрой нужной системы; для основания 16 значения от 10 до 15 обозначаются буквами A, B, C, D, E, F. Например, 1111₂ = 15₁₀ = F₁₆, поэтому вместо четырёх битов можно записать одну шестнадцатеричную цифру.

Соответствие групп двоичных разрядов цифрам систем с основанием 2ⁿ

В таблице приведены значения групп, которые помогают быстро заменять тройки двоичных разрядов восьмеричными цифрами. Для четырёхразрядных групп указаны шестнадцатеричные обозначения. Найдите двоичную группу и прочитайте соответствующую цифру; при обратном переводе пользуйтесь той же строкой в противоположном направлении.

Разбор задач

Перевести двоичное целое число 110101₂ в восьмеричную систему

Основание 8 равно 2³, поэтому двоичные разряды нужно объединить в тройки. Начинаем справа: так младшие разряды останутся в младшей группе, а порядок числа сохранится. Полученное значение каждой тройки заменяем одной восьмеричной цифрой.

1. Разбиваем запись справа налево: 110 101.
2. Переводим группы: 110₂ = 6₈, 101₂ = 5₈.
3. Записываем цифры в исходном порядке: 65₈.

Ответ: 110101₂ = 65₈. Проверить его можно, развернув группы обратно: 6₈ соответствует 110₂, а 5₈ — 101₂. После соединения получается исходная запись 110101₂.

Перевести число 10110110,101₂ в шестнадцатеричную систему

Шестнадцатеричное основание равно 2⁴, поэтому для каждой цифры нужна группа из четырёх двоичных разрядов. Целую и дробную части группируем отдельно, сохраняя запятую между ними. Недостающие разряды дополняем нулями только с внешних краёв.

1. Целая часть: 10110110 → 1011 0110. Группы дают 11 и 6, то есть B и 6.
2. Дробная часть: 101 → 1010. Добавили ноль справа; группа 1010₂ равна 10₁₀, то есть A₁₆.
3. Объединяем результаты с запятой: B6,A₁₆.

Ответ: 10110110,101₂ = B6,A₁₆. Ноль справа в дробной группе не изменил значение двоичной дроби: он лишь завершил группу из четырёх разрядов. При обратной замене B6 даёт 1011 0110, а A — 1010; конечный ноль дробной части можно убрать.

Перевести число 735,4₈ в двоичную систему и проверить обратным переводом

Каждая восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам, потому что 8 = 2³. Переводим цифры по отдельности, не меняя их порядок и положение запятой. В отличие от группировки целого двоичного числа, здесь нельзя убирать начальные нули внутри трёхразрядной группы.

1. Заменяем цифры целой части: 7₈ = 111₂, 3₈ = 011₂, 5₈ = 101₂.
2. Заменяем дробную цифру: 4₈ = 100₂.
3. Соединяем группы и сохраняем запятую: 111 011 101,100₂, то есть 111011101,100₂.
4. Для проверки делим запись на тройки: 111 011 101,100. Получаем 7 3 5,4₈.

Ответ: 735,4₈ = 111011101,100₂. Обратная группировка вернула исходные цифры, значит, порядок разрядов и запятая сохранены. Запись дробной части 100₂ можно также сократить до 1₂, но при проверке удобнее видеть полную группу.

Типичные ошибки

Ошибка — группировать разряды от неверного края: например, дробную часть делить на группы справа налево. Это происходит, когда направление группировки запоминают без привязки к запятой. Проверка простая: у целой части группы начинаются у запятой и идут влево, у дробной — начинаются у запятой и идут вправо.

Нельзя добавлять нули с внутреннего края неполной группы: слева у дробной части или справа у целой. Так разряды перемещаются относительно запятой, и значение числа может измениться. Проверьте край группы: нули добавляют только в начале целой записи и в конце дробной.

При замене восьмеричной или шестнадцатеричной цифры иногда записывают двоичную группу без ведущих нулей. Так, цифра 3₈ соответствует не 11₂, а 011₂, поскольку группе полагается три разряда. Сверьте длину каждой группы с правилом: три бита для основания 8, четыре — для основания 16.

Буквы A–F могут принять за посторонние символы или за десятичные числа, а основание записи можно забыть указать. В результате число читается неоднозначно: например, A₁₆ — это цифра со значением 10, а не отдельное десятичное число. Проверяйте допустимость цифр для выбранного основания и подписывайте основание, когда запись без него можно понять по-разному.

Связь с другими темами

Для этой работы нужны знания о позиционной записи числа, степенях основания и переводе между двоичной и десятичной системами. Представление числа суммой разрядов помогает понять, почему группа битов имеет конкретное значение, а не просто механически запомнить таблицу соответствий. Если переводите результат обратно, используйте тот же принцип разрядных весов.

Восьмеричная и шестнадцатеричная записи связаны с устройством компьютера: они компактнее двоичных последовательностей и помогают читать представления данных и машинные коды. Замена группами сохраняет двоичное значение, но делает запись короче. Поэтому этот способ применяют там, где важно быстро увидеть структуру битов.

Что запомнить

• Основание 8 равно 2³: одна восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам.
• Основание 16 равно 2⁴: одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам.
• Целую двоичную часть группируют от запятой влево, дробную — от запятой вправо.
• При дополнении групп нули добавляют только с внешних краёв: слева у целой части и справа у дробной.
• В шестнадцатеричной системе A, B, C, D, E, F обозначают значения от 10 до 15.
• Положение запятой при группировке сохраняется.