"Информатика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Диаграмма Венна — наглядный способ изобразить множества и увидеть, какие элементы у них общие, а какие принадлежат только одному множеству. Прямоугольник задаёт универсальное множество — все объекты, которые рассматриваются в задаче, — а круги или другие замкнутые области показывают отдельные множества. По диаграмме удобно находить объединение, пересечение, дополнение и разность, а также подсчитывать элементы, не учитывая общую часть несколько раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Диаграмма Венна — изображение множеств в виде областей, которое показывает, как множества расположены относительно друг друга и какие элементы у них общие. Области могут быть кругами или иметь другую замкнутую форму. Такая схема нужна, чтобы наглядно выполнять операции над множествами и разбирать задачи, где один объект обладает несколькими признаками.
Универсальное множество — множество всех объектов, рассматриваемых в конкретной задаче; его обычно обозначают U и изображают прямоугольником. Все изображённые множества должны находиться внутри этого прямоугольника. Он задаёт границы задачи: объект за его пределами при решении не учитывается.
Объединение множеств A и B — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из них; обозначение — A ∪ B. На диаграмме это обе области целиком, включая их общую часть. Объединение нужно, когда требуется найти все объекты, обладающие хотя бы одним из перечисленных признаков.
Пересечение множеств A и B — множество элементов, принадлежащих каждому из них; обозначение — A ∩ B. На диаграмме пересечение занимает только общую часть областей. Оно помогает выделить объекты, для которых одновременно выполняются оба условия.
Сначала определяют универсальное множество: без него нельзя понять, какие объекты вообще входят в рассмотрение. Например, если задача о числах от 1 до 10, именно эти числа образуют U. Затем внутри прямоугольника рисуют области для заданных множеств, размещая пересекающиеся множества так, чтобы общие элементы можно было показать в их общей части. Если множества не имеют общих элементов, их области не пересекаются.
Общая часть двух областей соответствует пересечению, потому что расположенный в ней элемент одновременно принадлежит обеим областям. Если элемент находится в круге A, но не в круге B, он не удовлетворяет условию принадлежности множеству B и поэтому в A ∩ B не входит. Объединение, напротив, охватывает все части обеих областей: достаточно принадлежать хотя бы одной из них. Поэтому общую область объединения также включают, но сам элемент при подсчёте считают только один раз.
Дополнение множества A определяют только после выбора универсального множества U: это все элементы U, которые не принадлежат A. На схеме выделяют часть прямоугольника за пределами области A. Само множество за кругом, но вне прямоугольника, к дополнению не относится, потому что оно не входит в заданный круг рассмотрения. Если изменить U, дополнение тоже может измениться.
Разность A\B состоит из элементов, которые принадлежат A, но не принадлежат B. Поэтому на диаграмме выделяют часть области A, не перекрывающуюся с B. Сочетания операций строят по действиям: для A ∩ (B ∪ C) сначала находят область B ∪ C, а затем оставляют только её часть, лежащую в A. Скобки задают, какую операцию нужно выполнить первой.
В задаче на подсчёт диаграмму делят на непересекающиеся области: части только одного множества, попарные общие части и, если множеств три, область общая для всех. Внутри каждой такой области элемент учитывается ровно один раз. Для двух множеств общая часть входит и в A, и в B, поэтому при сложении количеств она учитывается дважды; чтобы получить размер объединения, её нужно вычесть один раз. Разбиение на отдельные области помогает не перепутать общий итог и число элементов в каждом множестве.
| Операция | Обозначение | Какие элементы входят | Какая область выделяется |
|---|---|---|---|
| Объединение | A ∪ B | Принадлежащие хотя бы одному из множеств | Обе области целиком, включая общую часть |
| Пересечение | A ∩ B | Принадлежащие каждому из множеств | Только общая часть областей |
| Дополнение | U\A | Принадлежащие U, но не A | Часть прямоугольника вне области A |
| Разность | A\B | Принадлежащие A, но не B | Часть A вне области B |
Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, какое условие нужно выполнить, а затем выбери соответствующую область. Для дополнения обязательно учитывай прямоугольник U, а для разности — порядок множеств: A\B и B\A обычно различаются. Если требуется подсчёт, сначала раздели выделенную область на части, которые не пересекаются между собой.
В универсальном множестве находятся числа от 1 до 10. Нужно изобразить множество чётных чисел и множество чисел, кратных 3, и указать их пересечение. Пересечение составят числа, которые одновременно чётные и делятся на 3. Чтобы не пропустить такой элемент, сначала распределим числа по условиям, а затем найдём общую часть.
Ответ: A ∩ B = {6}. На диаграмме 2, 4, 8, 10 находятся только в области A, 3 и 9 — только в области B, а 6 — в пересечении.
В классе 20 учеников, 12 изучают английский язык, 9 — немецкий, 5 — оба языка. Нужно узнать, сколько человек изучают хотя бы один язык, то есть найти мощность объединения множеств. Если просто сложить 12 и 9, пять учеников, изучающих оба языка, посчитаются дважды. Поэтому сначала убираем этот двойной учёт.
Ответ: хотя бы один язык изучают 16 учеников. Оставшиеся 4 человека не изучают ни один из этих языков, поскольку всего в классе 20 учеников.
Из 40 опрошенных 22 читают журнал A, 18 — B, 15 — C; журналы A и B читают 8 человек, A и C — 7, B и C — 6, а все три журнала — 3 человека. Требуется найти число тех, кто не читает ни одного. Сначала определим, сколько человек входит в объединение трёх множеств, учитывая пересечения; затем вычтем это число из общего количества опрошенных.
Ответ: 3 человека не читают ни один журнал. Центральные 3 человека вычитали из попарных пересечений, чтобы в них остались только области двух журналов без третьего; затем все отдельные области сложили по одному разу.
Путать пересечение с объединением. Пересечение включает только общие элементы, тогда как объединение охватывает элементы хотя бы одной области. Ошибка появляется, если ориентироваться на знакомые слова, но не проверять, какое условие должно выполняться. Проверь себя вопросом: элемент должен принадлежать обоим множествам или хотя бы одному?
Складывать количества множеств без поправки на пересечение. Тогда общие элементы учитываются дважды, хотя в объединении каждый элемент должен быть посчитан один раз. Это легко не заметить, если читать числа из условия как количества разных объектов. Нарисуй общую часть и проверь расчёт по формуле |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Находить дополнение без универсального множества. Круг за пределами A сам по себе не определяет, какие элементы входят в дополнение: оно зависит от границ U. Ошибка возникает, когда мысленно добавляют объекты, не рассматриваемые в задаче. Проверь, что каждый элемент дополнения находится внутри прямоугольника и вне A.
Неверно учитывать общую часть трёх множеств. Элементы, принадлежащие всем трём множествам, входят в каждое попарное пересечение, поэтому простое сложение и вычитание пересечений может посчитать их неправильно. Обычно ошибку допускают, забывая выделить центральную область отдельно. Проверь каждую область диаграммы: при подсчёте объединения объект должен остаться учтён ровно один раз.
Для работы с диаграммами нужно знать, что такое множество, его элемент, принадлежность и подмножество, а также понимать операции над множествами. Схемы помогают решать задачи на подсчёт и разбирать условия с несколькими признаками: расположение объекта в области показывает, каким условиям он удовлетворяет. Эта модель связана и с логикой: объединению соответствует «или», пересечению — «и», дополнению — «не». Поэтому диаграммы позволяют перейти от словесного условия к наглядной схеме и обратно.
Чем диаграмма Венна отличается от простого рисунка множеств?
Диаграмма Венна показывает не только сами множества, но и их взаимное расположение: например, общую часть и области, принадлежащие лишь одному множеству. Её области соответствуют операциям над множествами, поэтому по диаграмме можно анализировать условие и выполнять подсчёты.
Как изобразить пересечение двух множеств?
Нарисуй две области так, чтобы они перекрывались. Их общая часть и есть пересечение: в неё входят только элементы, принадлежащие обоим множествам.
Почему при подсчёте объединения нужно вычитать пересечение?
Если сложить количества элементов двух множеств, каждый элемент пересечения попадёт в сумму дважды. Чтобы получить число элементов объединения, общую часть вычитают один раз: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Как на диаграмме показать элементы, не принадлежащие множеству?
Сначала нужно задать универсальное множество, которое изображают прямоугольником. Дополнение множества A — это часть прямоугольника за пределами области A; оно включает только рассматриваемые объекты, не принадлежащие A.
Как решать задачи с тремя множествами и их общими частями?
Раздели диаграмму на непересекающиеся области и сначала заполни центральную часть, общую для всех трёх множеств. Затем найди области попарных пересечений без центральной части, после чего вычисли части, принадлежащие только одному множеству. Так каждый элемент будет учтён ровно один раз.
§ 20. Диаграммы Венна
