§ 69. Точность вычислений

Определения и обозначения

Приближённое значение — число, которое используют вместо точного. Результат измерения обычно нельзя записать абсолютно точно: прибор имеет ограниченную точность, а условия измерения могут влиять на показания. В вычислениях точное значение тоже может быть неизвестно или неудобно для записи. Поэтому приближённое число позволяет продолжить расчёт, но требует оценки его точности.

Абсолютная погрешность — модуль разности точного значения x и приближённого значения xₐ: Δx = |x − xₐ|. Модуль нужен, чтобы погрешность была неотрицательной независимо от того, получилось приближённое число больше или меньше точного. Она измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Поэтому по абсолютной погрешности можно понять величину отклонения.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: δ = Δx / |x|. Она показывает, какую долю от величины составляет ошибка, поэтому помогает сравнивать результаты разного масштаба. Относительную погрешность записывают десятичной дробью или в процентах: чтобы получить проценты, долю умножают на 100%. Если точное значение неизвестно, для оценки используют приближённое.

Значащие цифры — цифры числа, которые используют для характеристики его точности. При округлении до определённого разряда число сохраняет лишь часть цифр, а остальные отбрасывают или заменяют нулями. Поэтому запись 3,2 и запись 3,200 могут указывать на разную точность, если нули обозначают сохранённые результаты измерения. Количество знаков само по себе не заменяет оценку погрешности.

Как это устроено

Компьютер хранит вещественные числа в ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Если для записи числа нужно больше разрядов, чем доступно, программа сохраняет ближайшее представимое значение. Кроме того, некоторые дроби, например ⅓, имеют бесконечную десятичную запись, поэтому их нельзя представить конечным числом цифр. Так возникают приближённые значения даже в вычислениях, которые кажутся точными.

Округление до заданного разряда отбрасывает часть цифр числа, поэтому округлённый результат может отличаться от исходного. При обычном округлении смотрят на первую отброшенную цифру и определяют, оставить последний сохраняемый разряд или увеличить его на единицу. Расстояние между соседними значениями этого разряда называют его единицей: при округлении до сотых это 0,01. Отклонение не превосходит половины такой единицы, то есть для сотых — 0,005.

Абсолютная погрешность сообщает, насколько велико отклонение в единицах измерения, но не всегда говорит, насколько оно существенно. Ошибка 1 см мала для длины комнаты, но велика для толщины листа. Причина в том, что одна и та же разность составляет разную долю от величин разного масштаба. Поэтому для сравнения качества таких измерений используют относительную погрешность.

Относительная погрешность сопоставляет ошибку с самой величиной и потому удобна для сравнения измерений разного масштаба. Её находят делением абсолютной погрешности на модуль точного значения, а затем при необходимости переводят в проценты. На практике точное значение часто неизвестно, поэтому вместо него берут приближённый результат измерения. Полученное число считают оценкой относительной погрешности, особенно если известна верхняя граница абсолютной ошибки.

Каждое округление промежуточного результата может добавить отличие от точного значения. При следующих действиях эта ошибка переносится дальше и иногда увеличивается, поэтому итог может заметно измениться. Чтобы ослабить этот эффект, во время вычислений сохраняют дополнительные цифры. Округление выполняют в конце, оставляя точность, подходящую для условия задачи.

Абсолютная и относительная погрешности

Сначала определите, что именно требуется оценить: величину отклонения или его значимость относительно результата. Для первой цели подходит абсолютная погрешность, для сравнения разных по масштабу измерений — относительная. При неизвестном точном значении относительную погрешность можно оценить, подставив в знаменатель приближённое значение.

Разбор задач

Задача 1. Число 2,71828 округлили до сотых. Найдите приближённое значение и абсолютную погрешность округления.

1. До сотых сохраняют две цифры после запятой: это 2 и 7. Следующая цифра равна 8, поэтому сотые увеличивают на единицу.
2. Получаем приближённое значение 2,72. Абсолютная погрешность равна модулю разности исходного и округлённого чисел: |2,71828 − 2,72| = 0,00172.

Ответ: 2,72; абсолютная погрешность равна 0,00172. Она меньше 0,005 — половины единицы разряда сотых, как и должно быть при обычном округлении.

Задача 2. Длина детали примерно равна 50 см, абсолютная погрешность измерения не превышает 0,2 см. Оцените относительную погрешность в процентах.

1. Точное значение неизвестно, поэтому используем приближённую длину 50 см как оценку знаменателя. Делим абсолютную погрешность на эту длину: 0,2 / 50 = 0,004.
2. Чтобы выразить долю в процентах, умножаем её на 100%: 0,004 × 100% = 0,4%. Так как абсолютная погрешность не превышает 0,2 см, относительная оценка также не превышает примерно 0,4%.

Ответ: относительная погрешность составляет примерно 0,4% или меньше. Это означает, что ошибка измерения не превосходит около четырёх десятых процента от длины детали.

Задача 3. Стороны прямоугольника измерены с точностью до 0,1 см: a ≈ 12,4 см, b ≈ 7,8 см. Вычислите площадь, сравните результат с округлением до целых сантиметров на каждом промежуточном шаге и объясните, почему предпочтительно округлять в конце.

1. Сначала перемножаем исходные приближённые значения без преждевременного округления: S ≈ 12,4 × 7,8 = 96,72 см². Если оставить точность до целых в итоговом ответе, получим 97 см².
2. Если округлить стороны до целых перед вычислением, получится 12 см и 8 см. Тогда площадь равна 12 × 8 = 96 см². Она отличается от результата с округлением только в конце на 1 см².
3. Раннее округление изменило оба множителя и внесло дополнительное отклонение до вычисления площади. При других числах такие изменения могут повлиять на результат сильнее, поэтому дополнительные цифры лучше сохранять до последнего шага.

Ответ: площадь по исходным измерениям — примерно 96,72 см², или 97 см² при округлении до целых. При округлении сторон заранее получается 96 см²; округлять итог предпочтительнее, поскольку так меньше накапливается погрешность.

Типичные ошибки

Абсолютную и относительную погрешности иногда принимают за одно и то же. Их путают, потому что обе описывают ошибку результата, но абсолютная имеет единицы измерения, а относительная является отношением и обычно выражается в процентах. Проверьте запись: сантиметры должны остаться у абсолютной ошибки, а процент — у относительной. Если к относительной погрешности приписаны сантиметры, расчёт нужно проверить.

Количество знаков после запятой ошибочно считают надёжным показателем точности. Так происходит потому, что длинная десятичная запись выглядит более подробной, хотя лишние цифры могут быть результатом вычисления или округления. Сравните не только запись числа, но и разряд, до которого оно округлено, а также относительную погрешность. Именно эти сведения позволяют судить о точности.

При поиске абсолютной погрешности иногда забывают модуль, а при расчёте относительной делят на абсолютную погрешность вместо самой величины. Первое приводит к отрицательному значению ошибки, второе меняет смысл отношения. Проверьте формулы: Δx = |x − xₐ|, а δ = Δx / |x|. В знаменателе относительной погрешности стоит точное значение или его оценка.

Округление каждого промежуточного числа может казаться способом упростить вычисления. Но каждое такое действие добавляет погрешность, которая переносится в следующие шаги и иногда существенно меняет итог. Сравните результат с расчётом, в котором сохранены дополнительные цифры до последнего действия. Если ответы различаются, раннее округление могло повлиять на точность.

Связь с другими темами

Для работы с точностью нужно уметь округлять десятичные дроби, выполнять арифметические действия и переводить доли в проценты. Эти навыки позволяют находить абсолютную и относительную погрешности и записывать ответ в подходящем виде. Тема применяется при обработке результатов измерений и оценке надёжности вычислений. В программировании она помогает учитывать ограничения чисел и анализировать точность численных алгоритмов.

Что запомнить

• Приближённое значение заменяет точное, когда точное значение неизвестно или его неудобно использовать.
• Абсолютная погрешность равна модулю разности точного и приближённого значений.
• Относительная погрешность показывает абсолютную погрешность по отношению к самой величине.
• Относительную погрешность часто выражают в процентах.
• При округлении до заданного разряда погрешность обычного округления не превосходит половины единицы этого разряда.
• Чтобы уменьшить влияние округления, сохраняют дополнительные цифры в промежуточных вычислениях и округляют итог.