"Информатика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
Дискретизация позволяет представить непрерывный сигнал в компьютере: его значение измеряют через равные промежутки времени и записывают как последовательность отсчётов. Чем чаще делают измерения, тем больше деталей сигнала можно сохранить, но тем больше данных потребуется для записи. Чтобы восстановить исходный сигнал без искажений, частоту дискретизации выбирают с учётом самой высокой частоты в сигнале — она должна быть больше удвоенного значения этой частоты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дискретизация — замена непрерывного сигнала последовательностью его значений, измеренных в отдельные моменты времени. Иначе говоря, вместо бесконечного количества значений сигнала компьютер получает набор отдельных измерений. Это нужно, чтобы представить меняющийся во времени сигнал в виде данных, которые можно хранить и обрабатывать.
Отсчёт — значение сигнала, полученное при измерении в один из выбранных моментов времени. Например, при записи звука отсчёт показывает, какое значение имел сигнал в конкретный момент. Набор таких значений описывает изменения сигнала и служит основой для его последующего воспроизведения.
Шаг дискретизации — промежуток времени между соседними отсчётами. Его обычно обозначают T и измеряют в секундах. Если шаг меньше, измерения происходят чаще; этот параметр помогает понять, насколько подробно сигнал отслеживается во времени.
Частота дискретизации — число отсчётов за секунду; её обозначают f и измеряют в герцах (Гц). Частота равна величине, обратной шагу: f = 1 / T. Она показывает, сколько измерений компьютер выполняет за секунду, поэтому позволяет оценить и подробность записи, и количество данных.
Непрерывный сигнал может принимать значения в любой момент времени, поэтому записать каждое из них невозможно. Компьютер решает эту задачу, измеряя сигнал через равные промежутки и сохраняя полученные отсчёты. Равные промежутки делают последовательность измерений упорядоченной и позволяют сопоставить отсчёты со временем. Так бесконечно изменяющийся процесс превращается в конечный набор данных.
Частота дискретизации определяет, сколько раз за секунду берётся значение сигнала. Если частота повышается, на ту же секунду приходится больше отсчётов, поэтому время между ними уменьшается. Связь выражается формулами f = 1 / T и T = 1 / f. Это позволяет перейти от удобного для записи параметра к удобному для расчёта: например, найти число измерений по частоте или вычислить интервал между ними.
Для воспроизведения записи используют последовательность сохранённых отсчётов и по ней приближённо строят сигнал. Между соседними измерениями исходный сигнал мог измениться, поэтому при редкой записи компьютер не знает, что происходило в эти промежутки. Быстрые колебания тогда могут быть представлены неправильно, а некоторые особенности исчезнут. Увеличение частоты помогает заметить больше изменений, хотя само по себе ещё не гарантирует правильного восстановления.
Для восстановления сигнала без искажений частота дискретизации должна быть больше удвоенной максимальной частоты, содержащейся в сигнале. Это условие известно как теорема Котельникова: если максимальная частота равна fмакс, то нужно fд > 2fмакс. Причина в том, что для описания одного периода самого быстрого колебания требуются измерения с достаточно малым интервалом. Если частота дискретизации слишком мала, разные исходные колебания могут дать похожие последовательности отсчётов, и восстановить верный сигнал не получится.
При записи звука частоту дискретизации выбирают по верхней границе частот, которые нужно сохранить. Чем выше эта граница, тем чаще следует измерять сигнал, чтобы быстрые звуковые колебания не исказились. Но при увеличении частоты за каждую секунду записи возникает больше отсчётов, поэтому растёт объём данных. Выбор параметра — это компромисс между диапазоном сохраняемых частот и размером файла.
| Величина | Обозначение | Смысл | Связь с другими величинами |
|---|---|---|---|
| Шаг дискретизации | T | Время между соседними отсчётами | T = 1 / fд |
| Частота дискретизации | fд | Число отсчётов за секунду, Гц | fд = 1 / T |
| Максимальная частота сигнала для восстановления | fмакс | Наибольшая частота, которую нужно сохранить | fмакс < fд / 2 |
| Условие восстановления по теореме Котельникова | fд > 2fмакс | Частота дискретизации должна превышать удвоенную максимальную частоту | fмакс < fд / 2 |
Сначала определите, какая величина дана в задаче: интервал между отсчётами, частота записи или верхняя частота сигнала. Затем выберите соответствующую формулу в последнем столбце и проверьте единицы измерения. Если нужно оценить возможность восстановления, сравните частоту дискретизации с удвоенной максимальной частотой сигнала.
Задача 1. Звук записывают с частотой дискретизации 8 000 Гц. Сколько отсчётов будет получено за 3 секунды? Частота 8 000 Гц означает, что каждую секунду записывается 8 000 значений. Поэтому для нахождения общего количества нужно учесть длительность записи и умножить число отсчётов за секунду на число секунд.
Ответ: за 3 секунды будет получено 24 000 отсчётов.
Задача 2. Между соседними отсчётами проходит 0,00002 секунды. Найдите частоту дискретизации. Здесь дан шаг T, а требуется число измерений за секунду, то есть частота fд. Частота и шаг взаимно обратны, поэтому нужно разделить одну секунду на длительность промежутка между отсчётами.
Ответ: частота дискретизации равна 50 000 Гц, или 50 кГц. Проверка: при таком количестве отсчётов в секунду интервал между ними действительно составляет 1 / 50 000 секунды.
Задача 3. В сигнале есть частоты до 18 000 Гц. Можно ли восстановить его без искажений при частоте дискретизации 32 000 Гц? Какую минимальную частоту следует выбрать? Сначала найдём удвоенную максимальную частоту: именно с ней нужно сравнить заданную частоту дискретизации. Условие теоремы Котельникова строгое: частота должна быть больше, а не просто равна удвоенному значению.
Ответ: при 32 000 Гц восстановить сигнал без искажений нельзя. Следует выбрать частоту выше 36 000 Гц; практически можно взять запас, например 40 000 Гц.
Путать частоту и время между отсчётами. Частота — это число отсчётов за секунду, а шаг — интервал времени между ними. Путаница возникает потому, что обе величины описывают частоту измерений, но с разных сторон. Проверьте смысл единиц: у частоты герцы (1/с), у шага секунды.
Неверно переводить герцы и секунды друг в друга. Частоту нельзя получить из шага умножением или простым переименованием единиц: величины обратны. Ошибка часто появляется при работе с маленькими десятичными числами. Для самопроверки подставьте результат в f = 1 / T: произведение частоты на шаг должно быть равно 1.
Выбирать частоту, равную максимальной частоте сигнала. Такое значение недостаточно, потому что условие восстановления требует частоту больше удвоенной максимальной частоты. Иногда путают максимальную частоту колебаний с числом необходимых измерений. Проверьте расчёт, найдя 2fмакс и убедившись, что fд строго больше результата.
Считать, что большое число отсчётов само по себе гарантирует точную запись. Количество отсчётов зависит не только от длительности, но и от того, насколько часто берутся измерения относительно частот сигнала. Эту ошибку допускают, когда оценивают запись лишь по общему числу сохранённых значений. Сверьте частоту дискретизации с верхней частотой сигнала: если условие Котельникова не выполнено, запись может быть искажена даже при большом общем количестве отсчётов.
Для изучения дискретизации нужно понимать, что непрерывный сигнал изменяется во времени, а также уметь работать с единицами времени и частоты. Этот способ представления сигнала применяется при оцифровке звука и изображений, хранении и обработке данных компьютером. Чем больше отсчётов записано, тем больше места может занимать цифровой файл, поэтому тема связана с оценкой объёма данных. Дискретизация объясняет, как непрерывные процессы становятся последовательностями, пригодными для компьютерной обработки.
Чем дискретизация отличается от оцифровки?
Дискретизация — это получение значений сигнала в отдельные моменты времени. При полной оцифровке эти значения ещё и представляют числами, обычно с ограниченной точностью, чтобы компьютер мог их хранить и обрабатывать.
Как связаны частота и шаг дискретизации?
Частота показывает, сколько отсчётов получают за секунду, а шаг — сколько времени проходит между соседними отсчётами. Они взаимно обратны: f = 1 / T, где f — частота в герцах, а T — шаг в секундах.
Почему нельзя выбирать слишком низкую частоту дискретизации?
При редких измерениях быстрые изменения сигнала могут остаться между отсчётами незамеченными. Тогда восстановленный сигнал будет искажён, а его детали потеряются.
Как определить, какую частоту дискретизации выбрать для записи сигнала?
Нужно определить максимальную частоту, которую требуется сохранить, и выбрать частоту дискретизации больше её удвоенного значения. Затем учитывают требуемое качество записи и допустимый объём данных.
Почему при увеличении частоты дискретизации растёт размер файла?
За то же время при большей частоте получают больше отсчётов. Если точность хранения каждого отсчёта и длительность записи не меняются, для записи этих значений нужно больше памяти.
§ 71. Дискретизация
